Читаем Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2. полностью

Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

где dxdy есть элемент площади в первом сечении, dx'dy' - элемент площади во втором сечении, r - расстояние между этими элементами; интегрирование производится вначале по всем элементам первого сечения, а затем по всем элементам второго сечения.

Если мы введём теперь некоторую длину R, такую, что интеграл равен AA ln R, где A и A - площади двух сечений, то эта длина R останется неизменной, какую бы единицу длины мы ни приняли и какую бы систему логарифмов ни использовали.

Если предположить, что сечения разделены на элементы одинакового размера, то логарифм от R, умноженный на число пар элементов, будет равен сумме логарифмов расстояний между всеми парами элементов. Следовательно, величину R можно рассматривать как среднее геометрическое всех расстояний между парами элементов. Очевидно, что величина R должна быть промежуточной между наибольшим и наименьшим значениями r.

Если R_A и R_B - средние геометрические расстояния фигур A и B до третьей фигуры C, а R_A+B - среднее геометрическое расстояние суммы этих двух фигур до C, то

(A+B) ln R

_A+B

A ln R

B ln R

При помощи этого соотношения мы можем найти расстояние R для сложной фигуры по известным значениям R для её частей.

692. ПРИМЕРЫ

Рис. 41

(1). Пусть R - среднее расстояние от точки O до отрезка AB, а OP - перпендикуляр к AB [рис. 41]; тогда

AB(ln R+1)

AP ln OA

PB ln OB

AOB

Рис. 42

(2). Для двух отрезков (рис. 42) длиной a и b, проведённых в одну сторону из концов отрезка длиной с перпендикулярно ему, имеем

(2ln R+3)

(c^2-(a-b)^2)

c^2+(a-b)^2

c^2ln c

(a^2-c^2)

a^2+c^2

(b^2-c^2)

b^2+c^2

c(a-b)

arctg

a-b

arctg

Рис. 43

(3). Для двух отрезков PQ и RS (рис. 43), направления которых пересекаются в точке O,

PQ·RS

(2ln R+3)

ln PR

(2OP·OR sin^2O-PR^2 cos O)

ln QS

(2OQ·OS sin^2O-QS^2 cos O)

ln PS

(2OP·OS sin^2O-PS^2 cos O)

ln QR

(2OQ·OR sin^2O-QR^2 cos O)

sin O

{

OP^2·

SPR

OQ^2·SQR

OR^2·

PRQ

OS^2·

PSQ

Рис. 44

(4). Для точки O и прямоугольной площадки ABCD (рис. 44). Пусть OP, OQ, OR, OS перпендикулярны к его сторонам, тогда

AB·AD(2ln R+3)

2OP·OQ ln OA

2OQ·OR ln OB

2OR·OS ln OC

2OS·OP ln OD

OP^2·

DOA

OQ^2·

AOB

OR^2·

BOC

OS^2·

COD

(5). Нет необходимости в том, чтобы две фигуры были различны, ибо мы можем найти среднее геометрическое расстояние между каждой парой точек одной и той же фигуры; так, для отрезка прямой длины a

ln a

или

^-3/2

0,22313a

(6). Для прямоугольной площадки, стороны которой равны a и b,

ln R

a^2+b^2

a^2

b^2

a^2

1/2

b^2

a^2

b^2

1/2

arctg

Когда этот прямоугольник является квадратом со стороной a,

ln a

ln 2

0,44705a

(7). Среднее геометрическое расстояние между точкой и линией окружности равно наибольшей из двух величин: величины расстояния от данной точки до центра окружности и радиуса этой окружности.

(8). Таким образом, среднее геометрическое расстояние любой фигуры от некоторого кольца, ограниченного двумя концентрическими окружностями, равно её среднегеометрическому расстоянию от центра кольца, если эта фигура целиком расположена вне кольца; если же она вся лежит внутри кольца, то

ln R

a^2ln a-a^2ln a

a^2-a^2

где a и a - внешний и внутренний радиусы кольца. В этом случае R не зависит от формы фигуры, находящейся внутри кольца.

(9). Среднее геометрическое расстояние всех пар точек в кольце находится из уравнения

ln R

ln a

(a^2-a^2)^2

3a^2-a^2

a^2-a^2

Для круглой площадки радиуса а это выражение принимает вид

ln a

или

^-1/4

0,7788a

Для линии окружности R=a.

693. При вычислении коэффициента самоиндукции катушки однородного сечения, радиус кривизны которой значительно превышает размеры поперечного сечения, мы сначала, пользуясь только что описанным методом, определяем средние геометрические расстояния между всеми парами точек сечения катушки, а затем подсчитываем коэффициент взаимной индукции между двумя линейными проводниками заданной формы, помещёнными на этом расстоянии друг от друга.

Это и будет коэффициентом самоиндукции для единичного полного тока в катушке, если он распределён однородно по всем точкам сечения.

Но если в катушке имеется m витков, мы должны полученный коэффициент помножить на n^2 тогда мы получим коэффициент самоиндукции в предположении, что всё сечение катушки полностью заполнено витками проводящего провода.

Однако провод имеет цилиндрическую форму и покрыт изолирующим материалом, поэтому ток не распределён равномерно по сечению, а сконцентрирован в определённых его частях; это увеличивает коэффициент самоиндукции. Помимо этого, токи в соседних проводах не оказывают на ток в данном проводе того же самого действия, что при однородном распределении.

Поправки, возникающие при учёте всех этих соображений, могут быть найдены методом среднегеометрического расстояния. Они пропорциональны длине всего провода в катушке и могут быть выражены как некоторые численные величины, на которые мы должны умножать длину провода, с тем чтобы получить поправку к коэффициенту самоиндукции.

Перейти на страницу: