Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

689. Когда ток в проводе имеет переменную плотность, то электродвижущая сила, возникающая в результате индукции тока на самого себя, различна на разных участках сечения провода, являясь в общем случае функцией как расстояния от оси провода, так и времени. Если бы мы предположили, что цилиндрический проводник состоит из пучка проводов, образующих один и тот же контур, и ток задаётся однородным в любой части сечения пучка, то метод вычисления, использованный выше, был бы применим строго. Если, однако, мы рассмотрим цилиндрический проводник как сплошное тело, внутри которого токи, подчиняясь действию электродвижущих сил, могут течь беспрепятственно, то плотность тока не будет одинаковой на различных расстояниях от оси цилиндра и сами электродвижущие силы будут зависеть от распределения тока в различных цилиндрических слоях провода.

В этом случае вектор-потенциал H, плотность тока w и электродвижущую напряжённость в любой точке следует рассматривать как функцию времени и расстояния от оси провода.

Полный ток C, протекающий через сечение провода и полную электродвижущую силу E, действующую вдоль контура, следует рассматривать, как переменные, связь между которыми мы и должны установить.

Предположим, что величина H равна

H

=

S

+

T

+

Tr^2

+…+

T

_n

r

²ⁿ

+…

,

(1)

где S, T, T, … - функции времени.

Тогда из уравнения

d^2H

dr^2

+

1

2

dH

dr

=-

4w

(2)

мы находим

-w

=

T

+…+

n^2

T

_n

r

^2n-2

+…

.

(3)

Если удельное сопротивление вещества (на единицу объёма) обозначить через , то электродвижущая напряжённость в любой точке равна , что можно выразить через электрический потенциал и через вектор-потенциал H при помощи уравнения (В), п. 598:

w

=-

d

dz

-

dH

dt

,

(4)

или

-w

=

d

dz

+

dS

dt

+

dT

dt

+

dT

dt

r^2

+…+

dT_n

dt

r

²ⁿ

+…

(5)

Сравнивая в уравнениях (3) и (5) коэффициенты при одинаковых степенях r, получаем

T

=

d

dz

+

dS

dt

+

dT

dt

,

(6)

T

=

1

2^2

dT

dt

,

(7)

T

_n

=

1

n^2

dT_n-1

dt

.

(8)

Следовательно, мы можем написать

dS

dt

=-

d

dz

,

(9)

T

=

T

,

T

=

dT

dt

, …

T

_n

=

ⁿ

ⁿ

1

(n!)^2

dⁿT

dtⁿ

.

(10)

690. Для нахождения полного тока C нам следует проинтегрировать w по всему сечению провода радиуса a:

C

=

2

a

0

wr

dr

.

(11)

Подставляя значения w из уравнения (3), получаем

C

=-(

Ta^2

+…+

nT

_n

a

²ⁿ

+…)

.

(12)

Величина H в любой точке вне провода определяется только полным током C и не зависит от характера его распределения внутри провода. Поэтому можно принять значение H на поверхности провода равным AC, где A - постоянная величина, которую следует вычислять с учётом общей конфигурации контура. Полагая H=A при r=a, мы получаем

AC

=

S

+

T

+

Ta^2

+…+

T

_n

a

_n

²ⁿ

+…

.

(13)

Если далее записать a^2/=, где - величина проводимости на единицу длины провода, то мы будем иметь

C

=-

dT

dt

+

2^2

1^2·2^2

d^2T

dt^2

+…+

nⁿ

(n!)^2

dⁿT

dtⁿ

+…

,

(14)

AC-S

=

T

+

dT

dt

+

^2

1^2·2^2

d^2T

dt^2

+…+

ⁿ

(n!)^2

dⁿT

dtⁿ

+…

.

(15)

Чтобы исключить из этих уравнений T, мы должны вначале обратить ряд (14). Таким образом, получаем

dT

dt

=-

C

+

1

2

dC

dt

-

1

6

^2

d^2C

dt^2

+

7

144

^3

d^3C

dt^3

-

39

2880

dC

dt

+…

.

Из (14) и (15) мы также имеем

A

dC

dt

-

dS

dt

+

C

=

1

2

^2

d^2T

dt^2

+

1

6

^3

d^3T

dt^3

+

1

48

dT

dt

+

+

1

720

dT

dt

+…

.

Из последних двух уравнений находим

A

dC

dt

-

dS

dt

+

C

+

1

2

dC

dt

-

1

12

^2

d^2C

dt^2

+

1

48

^3

d^3C

dt^3

-

-

1

180

dC

dt

+…

=

0.

(16)

Если l - полная длина контура, R - его полное сопротивление, E - электродвижущая сила, обусловленная источниками, отличными от самоиндукции тока, то

dS

dt

=

E

l

,

=

l

R

,

(17)

E

=

RC

+

l

A

+

1

2

dC

dt

-

1

12

l^2

R

d^2C

dt^2

+

1

48

l^3

R^2

d^3C

dt^3

-

-

1

180

l

R^3

dC

dt

+…

.

(18)

Первый член в правой части этого уравнения, равный RC, выражает электродвижущую силу, необходимую для преодоления сопротивления в соответствии с законом Ома.

Второй член, равный

l

A

+

1

2

dC

dt

,

выражает электродвижущую силу, которую следовало бы создать для увеличения электрокинетического импульса контура в предположении, что во всех точках сечения провода сила тока одинакова.

Остальные члены выражают поправки к этой величине, возникающие из-за того факта, что сила тока различна на разных расстояниях от оси провода. Реальная система токов обладает большей степенью свободы, чем гипотетическая система, в которой по всему сечению поддерживается однородное распределение токов. Следовательно, электродвижущая сила, которая требуется для быстрого изменения силы тока, несколько меньше той, которая была бы необходима в рамках этой гипотезы.

Отношение между временным интегралом электродвижущей силы и временным интегралом тока равно

E

dt

=

R

C

dt

+

l

A

+

1

2

C

-

1

12

l^2

R

dC

dt

+…

.

(19)

Если ток вначале имеет постоянное значение C, затем в течение некоторого времени увеличивается до величины C и затем остаётся постоянным, равным C, то члены, содержащие производные от C, исчезают на обоих пределах и

E

dt

=

R

C

dt

+

l

A

+

1

2

(C-C)

,

(20)

т.е. величина импульса электродвижущей силы такая же, как если бы ток был однороден по сечению провода.

О среднем геометрическом расстоянии между двумя фигурами на плоскости ¹

¹Trans. R. S. Edin., 1871-2,

691. При вычислении электромагнитного действия тока, текущего вдоль прямого проводника любого заданного сечения, на другой ток, текущий по параллельному проводнику, сечение которого также задано, мы должны найти интеграл

ln r

dx

dy

dx'

dy'

,