Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Действительно, Гельмгольцем и Томсоном было показано (см. п. 543), что если явления Ампера истинны и если принять принцип сохранения энергии, то явления индукции, открытые Фарадеем, следуют с необходимостью. Далее, веберовский закон вместе с различными предположениями относительно природы электрических токов, которые он в себя включает, в результате математических преобразований приводит к формуле Ампера. Закон Вебера также совместим с принципом сохранения энергии, если существует потенциал, а это всё, что требуется для применимости принципа Гельмгольца и Томсона. Следовательно, мы можем утверждать, даже до того, как сделаны какие-то относящиеся к этому вычисления, что закон Вебера будет объяснять индукцию электрических токов. Таким образом, тот факт, что из вычислений найдено, что он объясняет индукцию электрических токов, не продвигает доказательства физической истинности закона.

С другой стороны, формула Гаусса, хотя она и объясняет явления притяжения токов, несовместима с принципом сохранения энергии и, следовательно, мы не можем утверждать, что она будет объяснять все явления индукции. В действительности так оно и есть, как мы увидим в п. 859.

857. Теперь мы должны рассмотреть электродвижущую силу, стремящуюся создать ток в элементе ds', обусловленную током в элементе ds, когда ds находится в движении и когда ток в нём переменный.

Согласно Веберу, действие на материал проводника, элементом которого является ds', есть сумма всех действий на электричество, которое он переносит. С другой стороны, электродвижущая сила, действующая на электричество в ds', является разностью электрических сил, действующих на положительное и отрицательное электричество в пределах этого элемента. Поскольку все эти силы действуют вдоль линии, соединяющей элементы, электродвижущая сила в ds' также находится на этой линии, и, для того чтобы получить электродвижущую силу в направлении ds', мы должны спроектировать силу на это направление. Чтобы применить формулу Вебера, мы должны вычислить различные входящие в неё члены в предположении, что элемент ds находится в движении относительно ds' и что токи в обоих элементах меняются со временем. Найденные таким образом выражения будут содержать члены, включающие v^2, vv', v'^2, v, v', и члены, не включающие v или v', причём все они умножены на ee'. Рассматривая, как мы делали раньше, четыре значения каждого члена и обращаясь вначале к механической силе, которая возникает из суммы четырёх значений, мы находим, что единственный член, который мы должны учитывать, это член, содержащий произведение vv'ee'.

Если затем мы рассмотрим силу, стремящуюся произвести ток во втором элементе, возникающую вследствие разницы действия первого элемента на отрицательное и положительное электричество второго элемента, мы найдём, что единственный член, который нам следует рассмотреть, это член, содержащий vee'. Мы можем записать четыре члена, входящие в (vee'), таким способом:

e'(ve+ve)

и

e'(ve+ve)

.

Поскольку e'+e'=0, механическая сила, обусловленная этими членами, равна нулю, но электродвижущая сила, действующая на положительное электричество e', равна (ve+ve), а сила, действующая на отрицательное электричество e', равна и противоположна ей.

858. Предположим теперь, что первый элемент ds движется относительно ds' со скоростью V в некотором направлении, и обозначим через

Vds

 и

Vds'

углы между направлением V и направлениями ds и ds' соответственно; тогда квадрат относительной скорости и двух электрических частиц равен

u^2

=

v^2

+

v'^2

+

V

-

2vv'

cos

+

+

2Vv

cos

Vds

-

2Vv'

cos

Vds'

.

(25)

Член с vv' - тот же самый, что и в уравнении (3). Член с v, от которого зависит электродвижущая сила, равен

2Vv

cos

Vds

.

Мы также имеем в этом случае для значения временной производной от r

r

t

=

v

dr

ds

+

v'

dr

ds'

+

dr

dt

,

(26)

где r/t относится к движению электрических частиц, а dr/dt - к движению материального проводника. Если мы образуем квадрат этой величины, то член, содержащий vv', от которого зависит механическая сила, будет тем же, что и прежде в уравнении (5), а член, содержащий v, от которого зависит электродвижущая сила, равен

2v

dr

ds

dr

dt

.

Дифференцируя (26) по t, мы находим

^2r

t^2

=

v^2

d^2r

ds^2

+

2vv'

d^2r

dsds'

+

v'^2

d^2r

ds'^2

+

dv

dt

dr

ds

+

dv'

dt

dr

ds'

+

+

v

dv

ds

dr

ds

+

v'

dv'

ds

dr

ds'

+

2v

d

ds

dr

dt

+

2v'

d

ds'

dr

dt

+

d^2r

dt^2

.

(27)

Мы находим, что член, включающий vv', - тот же самый, что и раньше в уравнении (6). Члены, которые меняют знак с изменением знака v, есть

dv

dt

dr

ds

 и

2v

d

ds

dr

dt

.

859. Если мы теперь вычислим по формуле Гаусса (уравнение (18)) результирующую электрическую силу в направлении второго элемента ds', возникающую из-за действия первого элемента ds, мы получим

1

r^2

ds

ds'

iV

x

x

(

2cos

Vds

-

2cos

Vr

cos

rds

)

cos

rds'

.

(28)

Поскольку в этом выражении нет члена, включающего скорость изменения тока i, и поскольку мы знаем, что изменение первичного тока производит индуцированное действие на вторичный контур, мы не можем принять формулу Гаусса в качестве правильного выражения для действия между электрическими частицами.