Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Для случая, когда проводимость среды равна ₁, а проводимость сфер ₂, мы получили, что проводимость составной среды равна

=

₁

2₁+₂+2k(₂-₁)

2₁+₂-k(₂-₁)

.

При ₁=1 и ₂= это даёт

=

1+2k

1-k

Эта величина определяет электрическую проводимость среды, состоящей из идеально проводящих сфер, распределённых в среде с единичной проводимостью, причём суммарный - агрегатный - объём всех сфер в единице объёма равен k.

Величина также представляет собой коэффициент магнитной индукции среды, состоящей из сфер с бесконечной проницаемостью, рассеянных в среде с проницаемостью, равной единице.

Величина k, которую мы будем называть Магнитным Коэффициентом Пуассона, представляет собой отношение объёма магнитных элементов к полному объёму вещества.

Величина известна как Коэффициент Индуцированной Намагниченности Неймана. Она более удобна, чем коэффициент Пуассона.

Величину мы будем называть Коэффициентом Магнитной Индукции. Её преимущество состоит в том, что она облегчает преобразование магнитных задач в соответствующие электрические и тепловые.

Соотношения между этими величинами таковы:

k

=

4

4+3

,

k

=

-1

+2

,

=

-1

4

,

=

3k

4(1-k)

,

=

1+2k

1-k

,

=

4

+

1.

Если положить =32 (именно такое значение дают эксперименты Талена ³ с мягким железом), то получим k=135/136 Но по теории Пуассона эта величина должна быть равна отношению объёма, занимаемого магнитными молекулами, к полному объёму железа. Однако ведь невозможно заполнить какое-либо пространство одинаковыми сферами так плотно, чтобы отношение их объёма к объёму этого пространства было бы столь близко к единице. И совершенно невероятно, чтобы такая большая доля объёма железа была занята твёрдыми молекулами, какую бы форму они ни имели. В этом состоит одна из причин, по которой мы должны отказаться от гипотезы Пуассона. Другие будут приведены в главе VI. Но, конечно, при этом полностью сохраняется значение математических исследований Пуассона, ибо они основаны не на его гипотезе, а на экспериментальном факте наличия индуцированной намагниченности.

³Recherches sur les propri'et'es magn'etiques du jer, Nova Acla, Upsal, 1863.

ГЛАВА V

ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ

Полая сферическая оболочка

431. Первый пример полного решения задачи о магнитной индукции был дан Пуассоном для случая полой сферической оболочки, находящейся под воздействием произвольных магнитных сил.

Для простоты будем считать, что источник магнитной силы расположен во внешнем по отношению к оболочке пространстве.

Если обозначить через V потенциал, создаваемый внешней магнитной системой, то его можно будет разложить в ряд по пространственным гармоникам следующего вида:

V

=

C

₀

S

₀

+

C

₁

S

₁

r

+и т.д. +

C

_i

S

_i

r

ⁱ

,

(1)

где r - расстояние от центра оболочки, S_i - поверхностная гармоника i-гo порядка, C_i - коэффициент.

Этот ряд будет сходящимся при условии, что r меньше расстояния до ближайшего из магнитов, создающих данный потенциал. Следовательно, для полой сферической оболочки он сходится и на самой оболочке, и в области внутри неё.

Обозначим через a₂ внешний радиус оболочки, через a₁ - внутренний радиус и через - потенциал, создаваемый индуцированной в ней намагниченностью. Во внутреннем пространстве, внутри вещества оболочки, и во внешнем пространстве вид функции , вообще говоря, различен. Разложив эти функции в ряды по гармоникам и сосредоточив своё внимание на членах, содержащих поверхностную гармонику S_i, мы увидим, что потенциал ₁, относящийся к полости внутри оболочки, следует разлагать по положительным гармоникам вида A₁S_irⁱ, поскольку внутри сферы радиуса a₁ он не должен обращаться в бесконечность.

В веществе оболочки, где значения r лежат между a₁ и a₂, ряд может содержать как положительные, так и отрицательные степени r вида A₂S_irⁱ+B₂S_ir^-(i+1).

Вне оболочки, где r больше a₂, разложение должно сходиться при сколь угодно больших r, и поэтому мы должны брать только отрицательные степени r вида B₃S_ir^-(i+1)

Функция должна удовлетворять следующим условиям: (1°) быть конечной, (2°) быть непрерывной, (3°) обращаться в нуль на бесконечном расстоянии и (4°) везде удовлетворять уравнению Лапласа.

Из условия (1°) следует

B

₁

=

0.

Из условия (2°) при r=a₁

(

A

₁

-

A

₂

)

a

2i+1

1

-

B

₂

=

0

(2)

и при r=a₂

(

A

₂

-

A

₃

)

a

2i+1

2

+

B

₂

-

B

₃

=

0.

(3)

Из условия (3°) следует A₂, а условие (4°) выполнено всюду, так как все эти функции являются гармоническими.

Помимо этих условий, существуют и другие, которым в силу уравнения (10) п. 427 необходимо удовлетворить на внешней и внутренней сторонах оболочки.

На внутренней поверхности при r=A₁.

(1+4)

d₂

dr

-

d₁

dr

+

4

dV

dr

=

0.

(4)

на внешней поверхности при r=a₂

-(1+4)

d₂

dr

+

d₃

dr

-

4

dV

dr

=

0.

Из этих условий получаем уравнения

(1+4)

{

iA

₂

a

2i+1

1

-

(i+1)B

₂

}-

iA

₁

a

2i+1

1

+

4

iC

_i

a

2i+1

1

=

0,

(6)

(1+4)

{

iA

₂

a

2i+1

2

-

(i+1)B

₂

}+

(i+1)B

₃

+

4

iC

_i

a

2i+1

2

=

0;

(7)

из которых, обозначив

N

_i

=

1

,

(1+4)(2i+1)^2

+

(4)^2

i(i+1)

1

-

a

₁

2i+1

a

₂

(8)

находим

A

₁

=-

(4)^2

i(i+1)

1

-

a₁

a₂

2i+1

N

_i

C

_i

,

(9)

A

₂

=-

4i

2i

+

1

+

4

(i+1)

1

-

a₁

a₂

2i+1

N

_i

C

_i

,

(10)

B