Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

₂

=

4

i(2i+1)

a

2i+1

1

N

_i

C

_i

,

(11)

B

₃

=

4

i{2i+1+4(i+1)}

(

a

2i+1

2

-

a

2i+1

1

)

N

_i

C

_i

.

(12)

Эти величины при подстановке в ряды по гармоникам дают ту часть потенциала, которая обусловлена намагниченностью оболочки. Величина N_i всегда положительна, так как множитель (1+4) никогда не может быть отрицательным. Следовательно, A₁ всегда принимает отрицательные значения, или, другими словами, действие намагниченной оболочки в точке внутри неё всегда противоположно действию внешней магнитной силы, независимо от того, является ли оболочка парамагнитной или диамагнитной. Истинное значение результирующего потенциала внутри оболочки равно (C_i+A₁)S_irⁱ или

(1+4)

(2i+1)^2

N

_i

C

_i

S

_i

r

ⁱ

.

(13)

432. Если является большим числом, как в случае мягкого железа, то для не слишком тонкой оболочки магнитная сила внутри неё составляет малую долю внешней силы.

Именно таким способом сэр У. Томсон, поместив свой морской гальванометр в трубу из мягкого железа, сделал его независящим от внешней магнитной силы.

433. Наибольшую практическую ценность представляет случай i=1, для которого имеем

N

_i

=

1

,

9(1+4)

+

2(4)^2

1-

a

₁

^3

a

₂

(14)

A

₁

=

-2(4)^2

1-

a₁

a₂

^3

N

₁

C

₁

,

A

₂

=

-

4

3+8

1-

a₁

a₂

^3

N

₁

C

₁

,

B

₂

=

12

a

₁

^3

N

₁

C

₁

,

B

₂

=

-

4

(3+8)

(

a

₂

^3

-

a

₁

^3

)

N

₁

C

₁

.

(15)

В этом случае магнитная сила внутри полой оболочки является однородной, а её величина равна

C

₁

+A

₁

=

9(1+4)

C

₁

.

9(1+4)

+

2(4)^2

1-

a

₁

^3

a

₂

(16)

Если мы хотим определить путём сравнения магнитной силы, измеренной внутри полой оболочки, с внешней магнитной силой, то наилучшее значение толщины оболочки можно найти из уравнения

1

-

a₁^3

a₂^3

=

9

2

1+4

2(4)^2

.

(17)

Магнитная сила внутри оболочки при этом составляет половину значения магнитной силы вне оболочки.

Поскольку для железа значения лежат между 20 и 30, то толщина оболочки должна составлять около двух сотых долей её радиуса. Этот метод применим только при больших значениях . Если же они очень малы, то и величина A₁ становится неощутимо малой, так как она пропорциональна квадрату .

Для случая почти сплошной сферы с очень маленькой сферической полостью

A

₁

=

-

2(4)^2

(3+4)(3+8)

C

₁

,

A

₂

=

-

4

3+4

C

₁

,

B

₃

=

-

4

3+4

C

₁

a

₂

^3

.

(18)

Это исследование можно было полностью провести, непосредственно исходя из решения задачи о протекании тока через сферическую оболочку, рассмотренную в п. 312. Для этого в приведённых там выражениях следует положить k₁=(1+4)k₂ и учесть, что величины A₁ и A₂ в задаче о протекании тока эквивалентны величинам C₁+A₁ и C₁+A₂ в задаче о магнитной индукции.

434. Соответствующее двумерное решение представлено графически на рис. XV в конце этого тома. Там показано, как линии индукции, почти горизонтальные вдали от центра, искажаются поперечно намагниченным цилиндрическим стержнем, помещённым в положение устойчивого равновесия. Линии, пересекающие это семейство под прямыми углами, изображают эквипотенциальные поверхности, одна из которых является цилиндром. Большой пунктирный круг соответствует сечению цилиндра из парамагнитного вещества, а пунктирные горизонтальные линии внутри него изображают линии индукции в веществе, непрерывно переходящие во внешние линии индукции. Вертикальные пунктирные линии представляют собой внутренние эквипотенциальные поверхности, неразрывно связанные с внешней системой эквипотенциалей.

Следует отметить, что линии индукции сгущаются внутри вещества, а эквипотенциальные поверхности раздвигаются парамагнитным цилиндром, который, выражаясь языком Фарадея, проводит линии индукции лучше, чем окружающее вещество.

Если считать систему вертикальных линий линиями индукции, а горизонтальную систему - эквипотенциальными поверхностями, то получится, во-первых, случай поперечно намагниченного цилиндра, помещённого в неустойчивое равновесие среди раздвинутых им силовых линий; во-вторых, если считать, что большой пунктирный круг соответствует сечению диамагнитного цилиндра, пунктирные линии внутри него вместе с внешними линиями будут представлять действие диамагнитного вещества, состоящее в разрежении линий индукции и сближении эквипотенциальных поверхностей, ибо такое вещество является худшим проводником магнитной индукции, чем окружающая среда.

Случай сферы с коэффициентами намагниченности, различными в разных направлениях

435. Пусть , , - составляющие магнитной силы, а A, B, C - составляющие намагниченности в произвольной точке, тогда наиболее общее линейное соотношение между этими величинами даётся уравнениями

A

=

r

₁

+

p

₃

+

q

₂

,

B

=

q

₃

+

r

₂

+

p

₁

,

C

=

p

₂

+

q

₁

+

r

₂

,

(1)

где p, q, r - девять коэффициентов намагниченности.

Предположим теперь, что условия намагниченности внутри сферы радиуса именно таковы и что намагниченность в каждой точке вещества однородна и одинаково направлена, а её составляющие равны A, B, C.

Предположим также, что внешняя намагничивающая сила также однородна и параллельна какому-нибудь направлению и имеет составляющие X, Y, Z.

Тогда значение V будет равно

V

=

-(

Xx

+

Yy

+

Zz

),

(2)

а для значения потенциала ' вне сферы намагниченности, согласно п. 391, получим

'

=

4

3

a^3

r^3

(

Ax

+

By

+

Cz

).

(3)