Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Действующие на магнит силы таковы: его вес, пара сил, обусловленная земным магнетизмом, кручение (если таковое имеется) проволок и их натяжение. Из всего этого действие магнетизма и кручение имеют характер момента. Поэтому равнодействующая натяжения должна состоять из равной весу вертикальной силы и момента сил. Следовательно, равнодействующая вертикальных составляющих натяжения направлена вдоль линии, имеющей своей проекцией точку 𝑂, которая является пересечением линий 𝐴𝐴' и 𝐵𝐵'. и делит каждую из них в отношении 𝑊' к 𝑊.

Горизонтальные составляющие натяжения образуют пару сил, т.е. они равны по величине и параллельны по направлению. Обозначая каждую из них через 𝑄, для момента пары сил, которую они образуют, имеем

𝐿

=

𝑄

⋅

𝑃𝑃'

,

(1)

где 𝑃𝑃' - расстояние между параллельными линиями 𝐴𝐵 и 𝐴'𝐵'.

Для определения величины 𝐿 мы имеем уравнения моментов

𝑄ℎ

=

𝑊⋅𝐴𝐵

=

𝑊'⋅𝐴'𝐵'

,

(2)

и геометрическое соотношение

(𝐴𝐵+𝐴'𝐵')𝑃𝑃'

=

𝑎𝑏 sin(α-β)

,

(3)

откуда получаем

𝐿

=

𝑄

⋅

𝑃𝑃'

=

𝑎𝑏

ℎ

𝑊𝑊'

𝑊+𝑊'

sin(α-β)

.

(4)

Если масса подвешенного прибора равна 𝑚, а интенсивность гравитации 𝑔, то

𝑊+𝑊'

=

𝑚𝑔

.

(5)

Мы можем также записать

𝑊-𝑊'

=

𝑛𝑚𝑔

(6)

откуда найдём

𝐿

=

1

4

(1-𝑛²)

𝑚𝑔

𝑎𝑏

ℎ

sin(α-β)

.

(7)

Таким образом, величина 𝐿 будет иметь максимум по 𝑛 при 𝑛=0, т.е. когда вес подвешенной массы одинаково несут обе проволоки.

Мы можем отрегулировать натяжения проволок и сделать их одинаковыми путём измерения и сведения к минимуму периода колебаний, или же мы можем получить автоматическую регулировку, присоединив концы проволок, как показано на рис. 16, к блоку, который поворачивается пока натяжения не сравниваются.

Расстояние между верхними концами проволок подвеса регулируется с помощью двух других блоков. Расстояние между нижними концами проволок также допускает регулировку.

При такой регулировке натяжения момент, возникающий из-за натяжения проволок, становится равным

𝐿

=

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin(α-β)

.

Момент пары сил, возникающий из-за кручения проволок, записывается в виде τ(α-β) где τ - сумма коэффициентов кручения проволок.

Кручение проволок должно отсутствовать, когда α=β, при этом можно положить γ=α.

Момент пары сил, обусловленный горизонтальной магнитной силой, имеет вид 𝑀𝐻 sin (δ-θ), где δ - магнитное склонение, а θ - азимут оси магнита. Мы избежим введения ненужных обозначений без потери общности, предположив, что ось магнита параллельна 𝐵𝐵' или что β=θ.

Тогда уравнение движения становится таким:

𝐴

𝑑²θ

𝑑𝑡²

=

𝑀𝐻 sin (δ-θ)

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin(α-θ)

+

τ(α-θ)

.

(8)

Имеется три основных положения прибора.

(1). Когда угол α примерно равен δ. Если время полного колебания в этом положении равно 𝑇₁, то

4π²𝐴

𝑇₁²

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

+

τ

+

𝑀𝐻

.

(9)

(2). Когда угол α близок к δ+π. Если в этом положении время полного колебания равно 𝑇₂, а северный конец магнита повёрнут к югу, то

4π²𝐴

𝑇₂²

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

+

τ

-

𝑀𝐻

.

(10)

Величина в правой части уравнения может быть сделана сколь угодно малой при уменьшении 𝑎 или 𝑏, но не должна становиться отрицательной, иначе равновесие магнита станет неустойчивым. Магнит в таком положении является прибором, чувствительным к малым вариациям направления магнитного поля.

Действительно, когда угол θ-δ примерно равен π, то sin(δ-θ) примерно равен θ-δ-π, и мы находим

θ=α-

𝑀𝐻

(δ+π-α).

1

𝑎𝑏

𝑚𝑔+τ-𝑀𝐻

2

ℎ

(11)

Уменьшая знаменатель дроби в последнем члене, мы можем сделать вариации θ очень большими по сравнению с вариациями δ. Следует заметить, что коэффициент перед δ в этом выражении отрицателен, так что когда направление магнитной силы поворачивается в одну сторону, магнит поворачивается в противоположную.

(3). В третьем положении верхняя часть подвешенной аппаратуры поверну та так, что ось магнита примерно перпендикулярна магнитному меридиану. Если положить

θ-δ

=

π

2

+

θ'

 и

α-θ

=

θ'

,

(12)

то уравнение движения может быть записано в виде

𝐴

𝑑²θ'

𝑑𝑡²

=

-

𝑀𝐻

cos θ'

+

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin(β-θ')

+

τ(β-θ)

.

(13)

Если при 𝐻=𝐻₀ и θ'=0 существует равновесие

-

𝑀𝐻

₀

+

1

4

𝑎𝑏

ℎ

𝑚𝑔

sin β

+

βτ

=

0,

(14)

то горизонтальная сила 𝐻 соответствующая малому углу θ' равна

𝐻

=

𝐻

₀

⎛

⎜

⎜

⎜

⎝

1-

1

4

𝑎𝑏

ℎ 𝑚𝑔 cos β + τ

1

4

𝑎𝑏

ℎ 𝑚𝑔 sin β + τβ

θ'

⎞

⎟

⎟

⎟

⎠

.

(15)

Чтобы магнит находился в устойчивом равновесии, числитель дроби во втором члене должен быть положительным, но чем он ближе к нулю, тем прибор будет более чувствительным при индикации изменений величины напряжённости горизонтальной составляющей земного магнетизма.

Статический метод оценки напряжённости силы зависит от действия прибора, что само по себе предполагает различные положения равновесия при различных значениях силы. Поэтому с помощью прикреплённого к магниту зеркальца, отбрасывающего светящееся пятно на движущуюся под действием часового механизма фотографирующую поверхность, можно вычертить на ней кривую, по которой можно определять напряжённость силы в любой момент времени в масштабе, который в этом случае мы можем брать произвольным.