Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

586. Так как величина р зависит от формы и положения контура, мы можем предположить, что каждый участок контура даёт определённый вклад в величину 𝑝 и что доля вклада каждого участка контура зависит от формы и положения только этого участка, но не от расположения других частей контура.

Это допущение является законным, потому что мы не рассматриваем сейчас ток, части которого могут действовать (и действительно действуют) одна на другую, мы рассматриваем просто контур, т.е. замкнутую кривую, являющуюся чисто геометрической фигурой, вдоль которой может течь ток, и поэтому нельзя представлять, что части этой фигуры оказывают друг на друга какое-то физическое воздействие.

Таким образом, мы можем предположить, что доля вклада от элемента контура 𝑑𝑠 равна 𝐽𝑑𝑠, где 𝐽 - величина, зависящая от положения и направления элемента 𝑑𝑠. Следовательно, значение 𝑝 допускает выражение через линейный интеграл

𝑝

=

∫

𝐽𝑑𝑠

,

(2)

где интегрирование проводится по замкнутому контуру однократно.

587. Далее мы должны определить вид величины 𝐽. Прежде всего, если направление 𝑑𝑠 изменить на противоположное, то знак изменится. Поэтому, когда два контура 𝐴𝐵𝐶𝐸 и 𝐴𝐸𝐶𝐷 имеют общую дугу 𝐴𝐸𝐶, отсчитываемую в этих контурах в противоположных направлениях, то сумма значений 𝑝 для двух контуров 𝐴𝐵𝐶𝐸 и 𝐴𝐸𝐶𝐷 будет равна значению 𝑝 для контура 𝐴𝐵𝐶𝐷, составленного из этих двух контуров [рис. 35].

Рис. 35

Действительно, части линейного интеграла, относящиеся к дуге 𝐴𝐸𝐶, для обоих парциальных контуров равны по величине и противоположны по знаку; когда берётся их сумма, они взаимно уничтожаются, и остаются только части линейного интеграла, зависящие от внешней границы 𝐴𝐵𝐶𝐷.

Таким же путём мы можем показать, что если поверхность, ограниченную замкнутой кривой, разделить на произвольное число частей и границу каждой из них рассматривать как контур (положительное направление каждого контура совпадёт с положительным направлением внешней замкнутой кривой), то значение 𝑝 для замкнутой кривой окажется равным сумме значений 𝑝 для всех этих контуров, см. п. 483.

588. Рассмотрим теперь участок поверхности, размеры которого настолько малы по сравнению с главными радиусами кривизны поверхности, что изменением направления нормали в пределах этого участка можно пренебречь. Будем предполагать также, что если любой очень маленький контур перенести параллельно самому себе от одной части этого участка к другой, то величина 𝑝 для этого малого контура заметно не изменится и это, очевидно, относится к тому случаю, когда размеры участка поверхности достаточно малы по сравнению с его расстоянием от первичного контура.

Если на этом участке поверхности провести произвольную замкнутую кривую, то значение 𝑝 будет пропорционально площади, ею охватываемой.

Действительно, площади любых двух контуров могут быть разделены на малые элементы, имеющие одинаковые размеры и одинаковые значения 𝑝. Площади этих двух контуров пропорциональны числу тех элементов, из которых они состоят, и в таком же отношении между собой находятся их значения 𝑝.

Отсюда значение 𝑝 для контура, который ограничивает некоторый элемент поверхности 𝑑𝑆, имеет вид 𝐼𝑑𝑆, где 𝐼 есть величина, зависящая от положения элемента 𝑑𝑆 и от направления его нормали. Поэтому мы имеем новое выражение для 𝑝:

𝑝

=

∬

𝐼𝑑𝑆

,

(3)

где двойное интегрирование распространяется на любую поверхность, ограниченную контуром.

589. Пусть 𝐴𝐵𝐶𝐷 будет контуром, у которого 𝐴𝐶 является элементарным участком, настолько малым, что его можно считать прямолинейным. Пусть 𝐴𝐵𝑃 и 𝐶𝑄𝐵 будут малые, равные между собой площадки, лежащие в той же плоскости, тогда значение 𝑝 будет одинаковым для обоих малых контуров 𝐴𝑃𝐵 и 𝐶𝑄𝐵 [рис. 36], или

𝑝(𝐴𝑃𝐵)

=

𝑝(𝐶𝑄𝐵)

.

Отсюда

𝑝(𝐴𝑃𝐵𝑄𝐶𝐷)

=

𝑝(𝐴𝐵𝑄𝐶𝐷)

+

𝑝(𝐴𝑃𝐵),

=

𝑝(𝐴𝐵𝑄𝐶𝐷)

+

𝑝(𝐶𝑄𝐵),

=

𝑝(𝐴𝐵𝐶𝐷),

т.е. значение 𝑝 не меняется при замене прямой линии 𝐴𝐶 на ломаную линию 𝐴𝑃𝑄𝐶, если охватываемая контуром площадь при этом не меняется существенно. Фактически это есть принцип, установленный вторым опытом Ампера (п. 506), где показано, что искривлённый участок контура эквивалентен прямолинейному при условии, что ни одна из его частей заметно не удалена от прямолинейного участка.

Следовательно, если мы заменим элемент 𝑑𝑠 на три малых элемента 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, проведённых в такой последовательности, чтобы образовать непрерывный путь от начала элемента 𝑑𝑠 к его концу, и если через 𝐹𝑑𝑥, 𝐺𝑑𝑦 и 𝐻𝑑𝑧, мы обозначим элементы линейного интеграла, соответствующие 𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧, то

𝐽𝑑𝑠

=

𝐹𝑑𝑥

+

𝐺𝑑𝑦

+

𝐻𝑑𝑧

.

(4)

590. Мы теперь в состоянии установить, каким образом величина 𝐽 зависит от направления элемента 𝑑𝑠, поскольку согласно (4)

𝐽

=

𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝐻

𝑑𝑧

𝑑𝑠

.

(5)

Это есть выражение для составляющей (в направлении 𝑑𝑠) вектора, компоненты которого в направлениях 𝑥, 𝑦 и 𝑧 равны 𝐹, 𝐺 и 𝐻 соответственно.