Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Величины 𝐿₁,𝐿₂,… можно назвать электрическими моментами инерции контуров 𝐴₁,𝐴₂,…, а 𝑀₁₂ - электрическим произведением инерции двух контуров 𝐴₁ и 𝐴₂. Когда мы захотим избежать языка динамической теории, мы будем называть 𝐿₁ коэффициентом самоиндукции контура 𝐴₁ а 𝑀₁₂ - коэффициентом взаимной индукции контуров 𝐴₁ и 𝐴₂. Величину 𝑀₁₂ называют также потенциалом контура 𝐴₁ по отношению к контуру 𝐴₂. Эти величины зависят только от формы и взаимного расположения контуров. Мы увидим, что в электромагнитной системе измерений они являются величинами, имеющими размерность длины, см. п. 627.

Дифференцируя 𝑇 по 𝑦̇₁, мы получаем величину 𝑝₁ которая в динамической теории может быть названа импульсом, соответствующим 𝑦₁. В теории электричества мы будем называть 𝑝₁ электрокинетическим импульсом контура 𝐴₁. Его величина равна

𝑝

₁

=

𝐿

₁

𝑦̇

₁

+

𝑀

₁₂

𝑦̇

₂

+….

Электрокинетический импульс контура 𝐴₁ составляется, таким образом, из произведения его собственного тока на коэффициент самоиндукции и суммы произведений токов в других контурах на их коэффициенты взаимной индукции с контуром 𝐴₁.

Электродвижущая сила

579. Пусть 𝐸 является электродвижущей силой в контуре 𝐴, возникающей от какого-либо источника (например, вольтовой или термоэлектрической батареи), которая создаёт ток независимо от магнитоэлектрической индукции.

Пусть 𝑅 будет сопротивлением контура, тогда по закону Ома для преодоления сопротивления требуется электродвижущая сила 𝑅𝑦̇, а для изменения импульса контура остаётся электродвижущая сила 𝐸-𝑅𝑦̇. Называя эту силу 𝑌', мы согласно общим уравнениям имеем

𝑌'

=

𝑑𝑝

𝑑𝑡

-

𝑑𝑇

𝑑𝑦

,

но,поскольку 𝑇 не содержит 𝑦, последний член исчезает.

Отсюда для электродвижущей силы имеем уравнение

𝐸-𝑅𝑦̇

=

𝑌'

=

𝑑𝑝

𝑑𝑡

,

или

𝐸

=

𝑅𝑦̇

+

𝑑𝑝

𝑑𝑡

.

Приложенная электродвижущая сила 𝐸, следовательно, есть сумма двух частей: первая, равная 𝑅𝑦̇, необходима для того, чтобы, преодолевая сопротивление 𝑅, поддерживать ток 𝑦̇; вторая часть требуется для увеличения электромагнитного импульса 𝑝. Эта электродвижущая сила должна создаваться источниками, независимыми от магнитоэлектрической индукции. Электродвижущая сила, возникающая только вследствие магнитоэлектрической индукции, равна, очевидно, 𝑑𝑝/𝑑𝑡, т.е. скорости уменьшения электрокинетического импульса контура.

Электромагнитная сила

580. Обозначим через 𝑋' приложенную механическую силу, возникающую от внешних источников и стремящуюся увеличить переменную 𝑥. Согласно общим уравнениям

𝑋'

=

𝑑

𝑑𝑡

𝑑𝑇

𝑑𝑥̇

-

𝑑𝑇

𝑑𝑥

.

Так как выражение для электрокинетической энергии не содержит скорости (𝑥̇), то первый член в правой части исчезает, и мы находим 𝑋'=-𝑑𝑇/𝑑𝑥.

Здесь 𝑋' - внешняя сила, требуемая для уравновешивания сил, возникающих от электрических источников. Её принято обычно рассматривать как реакцию на электромагнитную силу, которую мы будем называть 𝑋 и которая равна и противоположна 𝑋'.

Следовательно, 𝑋=𝑑𝑇/𝑑𝑥, или электромагнитная сила, стремящаяся увеличить какую-либо переменную, равна скорости увеличения электрокинетической энергии на единицу приращения этой переменной при условии, что токи поддерживаются постоянными.

Если в течение всего перемещения, за время которого электродвижущая сила совершает работу 𝑊, токи с помощью батареи поддерживаются постоянными, то электрокинетическая энергия системы за то же время увеличится на 𝑊. Поэтому в дополнение к той энергии, которая расходуется на создание тепла в контуре, из батареи извлекается дополнительно такое же количество энергии 𝑊. Впервые на это было указано сэром У. Томсоном ¹ . (Сравните эти результаты с электростатическим свойством в п. 93).

¹Nichol’s Cyclopaedia of the Physical Sciences, ed. 1860, article «Magnetism, Dynamical Relations of».

Случай двух контуров

581. Назовём контур 𝐴₁ первичным, а контур 𝐴₂ - вторичным. Электрокинетическая энергия системы может быть записана в виде

𝑇

=

1

2

𝐿𝑦̇

₁

²

+

𝑀𝑦̇

₁

𝑦̇

₂

+

1

2

𝑁𝑦̇

₂

²

где 𝐿 и 𝑁 - коэффициенты самоиндукции первичного и вторичного контуров соответственно, а 𝑀 - коэффициент их взаимной индукции.

Предположим, что на вторичный контур не действует никакая электродвижущая сила, кроме силы, обусловленной индукцией со стороны первичного контура. Тогда мы имеем

𝐸

₂

=

𝑅

₂

𝑦̇

₂

+

𝑑

𝑑𝑡

(

𝑀𝑦̇

₁

+

𝑁𝑦̇

₁

)=

0.

Интегрируя это уравнение по 𝑡, получим

𝑅

₂

𝑦

₂

+

𝑀𝑦̇

₁

+

𝑁𝑦̇

₂

=

𝐶

=

const

,

где 𝑦₂ - интегральный ток во вторичном контуре.

Метод измерения интегрального тока малой длительности будет описан в п. 748; легко удостовериться, что в большинстве случаев длительность вторичного тока весьма незначительна.