Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Обозначим этот вектор через 𝔄, а вектор, проведённый из начала координат в точку на контуре,- через ρ, тогда элемент контура будет равен 𝑑ρ, и кватернионным выражением для 𝐽𝑑𝑠 будет -𝑆.𝔄𝑑ρ.

Мы можем теперь записать уравнение (2) в виде

𝑝

=

∫

⎛

⎜

⎝

𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝐻

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

,

(6)

или

𝑝

=

-

∫

𝑆.𝔄𝑑ρ

.

(7)

Вектор 𝔄 и его составляющие 𝐹, 𝐺, 𝐻 зависят от положения элемента 𝑑𝑠 в поле, но не от направления, в котором он проведён. Следовательно, они являются функциями координат 𝑥, 𝑦, 𝑧 элемента 𝑑𝑠, но не его направляющих косинусов 𝑙, 𝑚, 𝑛.

Вектор 𝔄 и по направлению, и по величине представляет собой интеграл по времени от электродвижущей напряжённости, действие которой испытывала бы частица, помещённая в точку (𝑥,𝑦,𝑧) при внезапном прекращении первичного тока. Поэтому мы назовём его Электрокинетическим Импульсом в точке (𝑥,𝑦,𝑧). Он равен той величине, которую мы исследовали в п. 405 под названием вектор-потенциала магнитной индукции.

Электрокинетический импульс любой конечной линии или контура есть линейный интеграл вдоль этой линии или контура от составляющей электрокинетического импульса в каждой точке этой линии или контура.

591. Найдём теперь значение 𝑝 для элементарного прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷, сторонами которого являются 𝑑𝑦 и 𝑑𝑧, а положительным направлением - направление от оси 𝑦 к оси 𝑧 [рис. 37].

Рис. 37

Пусть координатами 𝑂 центра тяжести элемента будут 𝑥_𝑜, 𝑦_𝑜, 𝑧_𝑜, а 𝐺_𝑜, 𝐻_𝑜 - значения 𝐺 и 𝐻 в этой точке.

Координаты 𝐴 - средней точки первой стороны прямоугольника - равны 𝑦_𝑜 и 𝑧_𝑜-𝑑𝑧/2. Соответствующее значение 𝐺 есть

𝐺

=

𝐺

_𝑜

-

1

2

𝑑𝐺

𝑑𝑧

𝑑𝑧

+

…,

(8)

и часть величины 𝑝, возникающая со стороны 𝐴, приблизительно равна

𝐺

_𝑜

𝑑𝑦

-

1

2

𝑑𝐺

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(9)

Аналогично

для

𝐵,

𝐻

_𝑜

𝑑𝑧

+

1

2

𝑑𝐻

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

для

𝐶,

-𝐺

_𝑜

𝑑𝑦

-

1

2

𝑑𝐺

𝑑𝑧

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

для

𝐷,

-𝐻

_𝑜

𝑑𝑧

+

1

2

𝑑𝐻

𝑑𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Складывая эти четыре величины, находим значение 𝑝 для четырехугольника, а именно

𝑝

=

⎛

⎜

⎝

𝑑𝐻

𝑑𝑦

-

𝑑𝐺

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(10)

Если теперь ввести три новых величины 𝑎, 𝑏, 𝑐, таких, что

𝑎

=

𝑑𝐻

𝑑𝑦

-

𝑑𝐺

𝑑𝑧

,

𝑏

=

𝑑𝐹

𝑑𝑧

-

𝑑𝐻

𝑑𝑥

,

𝑐

=

𝑑𝐺

𝑑𝑥

-

𝑑𝐹

𝑑𝑦

,

(A)

и рассматривать их в качестве составляющих нового вектора 𝔅, тогда, согласно теореме IV п. 24, мы можем выразить линейный интеграл от 𝔄 вдоль любого замкнутого контура в виде поверхностного интеграла от 𝔅, взятого по поверхности, ограниченной контуром, таким образом:

𝑝

=

∫

⎛

⎜

⎝

𝐹

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝐺

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝐻

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

=

=

∬

(

𝑙𝑎

+

𝑚𝑏

+

𝑛𝑐

)

𝑛𝑆

,

(11)

или

𝑝

=

∫

𝑇.𝔄 cos ε 𝑑𝑠

=

𝑇.𝔅 cos η 𝑑𝑆

,

(12)

где ε есть угол между 𝔄 и 𝑑𝑠, а η - угол между 𝔅 и нормалью к 𝑑𝑆, направляющие косинусы которой равны 𝑙, 𝑚, 𝑛; 𝑇.𝔄, 𝑇.𝔅 обозначают численные значения 𝔄 и 𝔅.

При сравнении этого результата с уравнением (3) становится очевидным, что величина 𝐼 в том уравнении равна 𝔅 cos η, т.е. проекции 𝔅 на нормаль к 𝑑𝑆.

592. Мы уже видели (пп. 490, 541), что в соответствии с теорией Фарадея явления электромагнитной силы и индукции в контуре зависят от изменения числа линий магнитной индукции, проходящих сквозь контур. Теперь же число этих линий выражено математически в виде поверхностного интеграла от магнитной индукции, взятого по любой поверхности, ограниченной данным контуром. Следовательно, мы должны считать, что вектор 𝔅 и его составляющие 𝑎, 𝑏, 𝑐 представляют собой то, с чем мы уже знакомы как с магнитной индукцией и её составляющими.

В настоящем исследовании мы предполагаем вывести свойства этого вектора из принципов динамики, установленных в последней главе, как можно меньше обращаясь при этом к эксперименту.

Отождествляя этот вектор, возникший как результат математических исследований, с магнитной индукцией, свойства которой мы узнали из опытов с магнитами, мы не отступаем от указанного метода, ибо не вводим в теорию новых фактов, а только даём наименование некоторой математической величине. О правомерности такого действия следует судить по согласованности соотношений между математическими и физическими величинами, носящими одинаковые названия.

Вектор 𝔅, поскольку он фигурирует в поверхностном интеграле, принадлежит, очевидно, к категории потоков, описанных в п. 12, а вектор 𝔄 принадлежит, наоборот, к категории сил, так как он появляется в линейном интеграле.

593. Теперь мы должны восстановить в памяти те соглашения о положительных и отрицательных величинах и направлениях, некоторые из которых были установлены в п. 23. Мы принимаем правую систему осей, а именно такую, в которой, если винт с правой нарезкой смотрит вдоль оси 𝑥, а гайка поворачивается на винте в положительном направлении, т.е. от направления 𝑦 к 𝑧, она будет перемещаться вдоль винта в положительном направлении 𝑥.

Мы считаем также положительными стекловидное электричество и аустральный магнетизм. Положительным направлением электрического тока или линии электрической индукции является такое направление, в котором двигается или стремится двигаться положительное электричество, а положительное направление линии магнитной индукции есть направление, в котором указывает стрелка компаса тем своим концом, который поворачивается к северу, см. рис. 24 п. 498 и рис. 25 п. 501.