Трактат об электричестве и магнетизме

В теории электрических изображений 𝑒:𝑒'=𝑂𝐴:𝑅=𝑅:𝑂𝐴', так что

𝑉:𝑉'

=

𝑅:𝑂𝐵

,

(17)

т.е. потенциал в точке 𝐵, создаваемый зарядом в точке 𝐴, относится к потенциалу в изображении точки 𝐵 от электрического изображения точки 𝐴, как 𝑅 к 𝑂𝐵.

Поскольку это отношение зависит лишь от 𝑂𝐵 и не зависит от 𝑂𝐴, потенциал в точке 𝐵 от произвольной системы заряженных тел относится к потенциалу в точке 𝐵' от изображения этой системы, как 𝑅 к 𝑂𝐵.

Пусть 𝑟 - расстояние произвольной точки 𝐴 от центра, 𝑟' - расстояние его изображения 𝐴' от центра, 𝑒 - электризация точки 𝐴, 𝑒' -электризация точки 𝐴'; 𝐿, 𝑆, 𝐾 - элементы длины, поверхности и объёма у точки 𝐴; 𝐿', 𝑆', 𝐾' - их изображения у точки 𝐴'; λ, σ, ρ, λ', σ', ρ', - соответствующие линейные, поверхностные и объёмные плотности электризации в этих двух точках, 𝑉 - потенциал в точке 𝐴, создаваемый исходной системой, а 𝑉' - потенциал в точке 𝐴', создаваемый инверсной системой. Тогда

𝑟'

𝑝

=

𝐿'

𝐿

=

𝑅²

𝑟²

=

𝑟'²

𝑅²

,

𝑆'

𝑆

=

𝑅⁴

𝑟⁴

=

𝑟'⁴

𝑅⁴

,

𝐾'

𝐾

=

𝑅⁶

𝑟⁶

=

𝑟'⁶

𝑅⁶

,

𝑒'

𝑒

=

𝑅

𝑟

=

𝑟'

𝑅

,

λ'

λ

=

𝑟

𝑅

=

𝑅

𝑟'

,

σ'

σ

=

𝑟³

𝑅³

=

𝑅³

𝑟'³

,

ρ'

ρ

=

𝑟⁵

𝑅⁵

=

𝑅⁵

𝑟'⁵

,

𝑉'

𝑉

=

𝑟

𝑅

=

𝑅

𝑟'

.

(18)

¹

¹ См. «Natural Philosophy» Томсона и Тэта, § 515.

Если в исходной системе некоторая поверхность была поверхностью проводника, так что потенциал на ней был постоянен и равен 𝑃 то в преобразованной системе на изображении поверхности будет потенциал 𝑃𝑅/𝑟'. Но если поместить в центре инверсии 𝑂 количество электричества - 𝑃𝑅, то потенциал преобразованной поверхности станет равным нулю.

Следовательно, если известно распределение электричества на изолированном проводнике в свободном пространстве, заряженном до потенциала 𝑃, то можно с помощью инверсии найти распределение на заземлённом проводнике, являющемся изображением исходного проводника, устанавливающееся под влиянием точечного заряда -𝑃𝑅, помещённого в центр инверсии.

163. При исследовании различных случаев инверсии полезны следующие геометрические теоремы.

Каждая сфера переходит при инверсии в сферу, если только она не проходит через центр инверсии. В последнем случае она переходит в плоскость.

Если расстояния центров этих двух сфер от центра инверсии обозначить через 𝑎 и 𝑎', их радиусы - через α и α' и определить показатель (power) сферы по отношению к центру инверсии как произведение отрезков, отсекаемых сферой на линии, проходящей через центр инверсии, то для первой сферы показатель равен 𝑎²-α², а для второй - 𝑎'²-α'². При этом

𝑎'

𝑎

=

α'

α

=

𝑅²

𝑎²-α²

=

𝑎'²-α'²

𝑅²

,

(19)

т.е. отношение расстояний центров первой и второй сферы от центра инверсии равно отношению их радиусов, отношению показателя сферы инверсии к показателю первой сферы и отношению показателя второй сферы к показателю сферы инверсии.

Изображение центра инверсии по отношению к одной из сфер является точкой инверсии центра другой сферы.

В случае, когда инверсными поверхностями являются плоскость и сфера, перпендикуляр из центра инверсии на плоскость относится к радиусу инверсии как этот радиус относится к диаметру сферы, центр сферы расположен на этом перпендикуляре, а сама сфера проходит через центр инверсии.

Любая окружность инвертируется в окружность, если только она не проходит через центр инверсии. В этом случае она инвертируется в прямую.

Углы между двумя пересекающимися поверхностями или линиями не меняются при инверсии.

Любая окружность, проходящая через некоторую точку и через её изображение в сфере, пересекает эту сферу под прямыми углами.

Следовательно, любая окружность, проходящая через некоторую точку и пересекающая сферу инверсии под прямыми углами, проходит и через изображение этой точки.

164. Метод инверсии можно применить для определения распределения электричества на заземлённой сфере под действием точечного заряда, исходя из однородного распределения на изолированной сфере в отсутствие других тел.

Если точечный заряд находится в точке 𝐴 то примем её за центр инверсии, тогда для сферы радиуса 𝑎 центр которой находится на расстоянии ƒ от точки 𝐴, инвертированной фигурой будет сфера радиуса 𝑎' с центром на расстоянии ƒ', где

𝑎'

𝑎

=

ƒ'

ƒ

=

𝑅²

ƒ²-𝑎²

.

(20)

Центр каждой из этих сфер совпадает с инверсной точкой для 𝐴 относительно другой сферы, т. е. если 𝐶 - центр, а 𝐵 - инверсная точка первой сферы, то 𝐶' - инверсная точка, а 𝐵' - центр второй сферы.

Пусть теперь 𝑒 - количество электричества, сообщённое второй сфере, на которую не действуют внешние силы. Оно распределится равномерно по сфере с поверхностной плотностью

σ'

=

𝑒'

4π𝑎'²

.

(21)

Действие его в любой точке вне сферы точно такое же, как действие заряда 𝑒', помещённого в центре сферы 𝐵'.

На самой сферической поверхности и внутри неё потенциал равен постоянной величине

𝑃'

=

𝑒'

𝑎'

,

(22)

Произведём теперь инверсию этой системы. Центр 𝐵' переходит в инвертированной системе в инверсную точку 𝐵, заряд 𝑒' в точке 𝐵' переходит в 𝑒'𝑅/ƒ' в точке 𝐵 и во всех точках, отделённых от точки 𝐵 сферической поверхностью, потенциал равен потенциалу от заряда в точке 𝐵.

Потенциал в любой точке 𝑃, находящейся на сферической поверхности или по ту же сторону от неё, что и точка 𝐵, равен в инвертированной системе (𝑒'/𝑎')×(𝑅/𝐴𝑃).