Трактат об электричестве и магнетизме

Влияние такого распределения во всех точках вне сферы будет такое же, как у точечного заряда 𝑉𝑎, помещённого в центре сферы, а во всех точках внутри сферы потенциал просто увеличится на 𝑉.

Полный заряд сферы под действием внешней системы точечных зарядов 𝐴₁, 𝐴₂ и т. д. равен

𝐸

=

𝑉𝑎

-

𝑒

₁

𝑎

ƒ₁

-

𝑒

₂

𝑎

ƒ₂

-

…,

(9)

откуда можно найти заряд 𝐸 по потенциалу 𝑉 или наоборот.

Если система зарядов находится внутри сферической поверхности, то заряд, наводимый на поверхности, равен и противоположен по знаку наводящему заряду, как было нами раньше доказано для любой замкнутой поверхности.

160. Энергия, обусловленная взаимодействием точечного заряда 𝑒, находящегося на расстоянии ƒ от центра сферы, большем радиуса сферы 𝑎, с распределением заряда по сферической поверхности, созданным под влиянием точечного заряда, и с зарядом сферы равна

𝑀

=

𝐸𝑒

ƒ

-

1

2

𝑒𝑎

ƒ²(ƒ²-𝑎²)

,

(10)

𝑉 - потенциал, 𝐸 - заряд сферы.

Сила отталкивания точечного заряда от сферы равна, согласно п. 92,

𝐹

=

𝑒𝑎

⎛

⎜

⎝

𝑉

ƒ²

-

𝑒ƒ

(ƒ²-𝑎²)²

⎞

⎟

⎠

=

𝑒

ƒ²

⎛

⎜

⎝

𝐸

-

𝑒

𝑎³(2ƒ²-𝑎²)

ƒ(ƒ²-𝑎²)²

⎞

⎟

⎠

.

(11)

Следовательно, сила взаимодействия точечного заряда со сферой является всегда притягивающей в следующих случаях: 1) когда сфера не изолирована, 2) когда сфера не заряжена, 3) когда точечный заряд расположен очень близко к поверхности сферы.

Для того чтобы имело место отталкивание, потенциал сферы должен быть положителен и больше 𝑒ƒ³/(ƒ²-𝑎²)²; заряд сферы должен быть того же знака, что и 𝑒, и больше, чем

𝑒

𝑎³(2ƒ²-𝑎²)

ƒ(ƒ²-𝑎²)²

.

Равновесная точка является неустойчивой: при сближении тел появляется притяжение, при удалении - отталкивание.

Если точечный заряд находится внутри сферы, действующая на него сила всегда направлена от центра сферы и равна 𝑒²𝑎ƒ/(𝑎²-ƒ²)².

Для точечного заряда, расположенного вне сферы, поверхностная плотность заряда в точке сферы, ближайшей к точечному заряду, равна

σ

₁

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝑉𝑎

-

𝑒

𝑎(ƒ+𝑎)

(ƒ-𝑎)²

⎫

⎬

⎭

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝐸

-

𝑒

𝑎²(3ƒ-𝑎)

ƒ(ƒ-𝑎)²

⎫

⎬

⎭

,

(12)

а в самой удалённой точке

σ

₂

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝑉𝑎

-

𝑒

𝑎(ƒ-𝑎)

(ƒ+𝑎)²

⎫

⎬

⎭

=

1

4π𝑎²

⎧

⎨

⎩

𝐸

+

𝑒

𝑎²(3ƒ+𝑎)

ƒ(ƒ+𝑎)²

⎫

⎬

⎭

.

(13)

Если величина заряда 𝐸 сферы заключена в пределах

𝑒

𝑎²(3ƒ-𝑎)

ƒ(ƒ-𝑎)²

 и

𝑒

𝑎²(3ƒ+𝑎)

ƒ(ƒ+𝑎)²

то электризация сферы отрицательна вблизи точечного заряда и положительна с противоположной стороны. Существует некоторая окружность, разделяющая области с положительной и отрицательной электризацией. Эта окружность является линией равновесия.

При

𝐸

=

𝑒𝑎

⎛

⎜

⎝

1

√ƒ²-𝑎² 

-

1

ƒ

⎞

⎟

⎠

(14)

эквипотенциальная поверхность, пересекающая сферу по линии равновесия, является сферой с центром в месте нахождения точечного заряда и радиусом √ƒ²-𝑎².

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности для этого случая показаны на рис. IV в конце этого тома.

Изображения в бесконечной проводящей плоскости

161. Если два точечных заряда 𝐴 и 𝐵, рассматривавшихся в п. 156, равны по величине и противоположны по знаку, то поверхность нулевого потенциала является плоскостью, каждая точка которой находится на равном расстоянии от точек 𝐴 и 𝐵 [рис. 8].

Рис. 8

Следовательно, если в точке 𝐴 находится точечный заряд 𝑒, a 𝐴𝐷 - перпендикуляр к плоскости, то, продолжив 𝐴𝐷 до точки 𝐵 так, что 𝐷𝐵=𝐴𝐷, и поместив в точку 𝐵 заряд -𝑒, мы получим изображение точки 𝐴, вызывающее во всех дочках, расположенных по ту же сторону от плоскости, что и точка 𝐴, точно такое же действие, что и действительная электризация плоскости. В самом деле, потенциал обусловленный точками 𝐴 и 𝐵, удовлетворяет на стороне, где находится точка 𝐴, условию ∇²𝑉=0 во всех точках, кроме точки 𝐴, и равен нулю на плоскости, а существует лишь одна функция 𝑉, удовлетворяющая этим условиям.

Чтобы найти результирующую силу в точке 𝑃 плоскости, заметим, что она складывается из двух слагаемых, равных 𝑒/(𝐴𝑃²) причём одно действует вдоль 𝐴𝑃 а второе - вдоль 𝑃𝐵.

Таким образом, результирующая сила направлена параллельно 𝐴𝐵 и равна

𝑒

𝐴𝑃²

⋅

𝐴𝐵

𝐴𝑃

.

Итак, сила, отсчитываемая наружу от поверхности в сторону точки 𝐴, равна

𝑅

=

-

2𝑒𝐴𝐷

𝐴𝑃³

(15)

а плотность заряда в точке 𝑃 равна

σ

=

-

𝑒𝐴𝐷

2π𝐴𝑃³

(16)

Об электрической инверсии

162. Метод электрических изображений непосредственно приводит к методу преобразования, позволяющему для любой электрической задачи, решение которой мы знаем, построить сколько угодно других задач и их решений.

Мы видели, что изображение точки, находящейся на расстоянии 𝑟 от центра сферы радиуса 𝑅, находится на том же самом радиусе на расстоянии 𝑟', таком, что 𝑟𝑟'=𝑅². Таким образом, изображение системы точек, линий, поверхностей получается из исходной системы чисто геометрическим методом, известным под названием метода инверсии и описанного Шалем, (Chasles), Сальмоном (Salmon) и другими математиками.

Если 𝐴 и 𝐵 - две точки, 𝐴' и 𝐵' - их изображения [рис. 9], 𝑂 - центр инверсии, a 𝑅 - радиус сферы инверсии, то

𝑂𝐴

⋅

𝑂𝐴'

=

𝑅²

=

𝑂𝐵

⋅

𝑂𝐵'

.

Следовательно, треугольники 𝑂𝐴𝐵 и 𝑂𝐴'𝐵' подобны и 𝐴𝐵:𝐴'𝐵'=𝑂𝐴:𝑂𝐵'=𝑂𝐴⋅𝑂𝐵/𝑅²

Рис. 9

Если количество электричества 𝑒 поместить в точку 𝐴, то его потенциал в точке 𝐵 будет 𝑉=𝑒/𝐴𝐵.

Если в точку 𝐴' поместить количество электричества 𝑒', то его потенциал в точке 𝐵' будет 𝑉'=𝑒'/𝐴'𝐵'.