Трактат об электричестве и магнетизме

Пусть 𝑎 - радиус сферы, ƒ - расстояние точечного заряда 𝐴 от центра сферы 𝐶, 𝑒 - заряд в точке 𝐴.

Тогда изображением является точка 𝐵, расположенная на том же радиусе сферы на расстоянии 𝑎²/ƒ от центра, и заряд изображения равен -𝑒𝑎/ƒ [см.рис. 7].

Мы показали, что это изображение вызовет по другую сторону поверхности такой же эффект, что и истинная электризация поверхности. Определим теперь поверхностную плотность этой электризации в произвольной точке 𝑃 сферической поверхности. Для этого мы используем теорему Кулона, п. 80, о том, что если 𝑅 - результирующая сила у поверхности проводника, а σ - поверхностная плотность, то 𝑅=4πσ где 𝑅 отсчитывается наружу.

Силу 𝑅 можно рассматривать как результирующую двух сил: отталкивания 𝑒/(𝐴𝑃²), действующего вдоль 𝐴𝑃, и притяжения 𝑒⋅(𝐴/ƒ)⋅[1/(𝐴𝑃²)], действующего вдоль 𝐵𝑃.

Разлагая эти силы по направлениям 𝐴𝐶 и 𝐶𝑃 получим, что отталкивание имеет составляющие 𝑒ƒ/(𝐴𝑃³) по 𝐴𝐶 и 𝑒𝑎/(𝐴𝑃³) по 𝐶𝑃, а притяжение -(𝑒𝑎/ƒ)⋅[1/(𝐵𝑃³)]⋅𝐵𝐶 по 𝐴𝐶 и -𝑒(𝑎²/ƒ)⋅[1/(𝐵𝑃³)] по 𝐶𝑃.

Но 𝐵𝑃=(𝑎/ƒ)⋅𝐴𝑃, a 𝐵𝐶=(𝑎²/ƒ), так что составляющие притяжения можно записать в виде -𝑒ƒ⋅[1/(𝐴𝑃³)] по 𝐴𝐶 и -𝑒(ƒ²/𝑎)⋅[1/(𝐴𝑃³)] по 𝐶𝑃.

Составляющие притяжения и отталкивания по 𝐴𝐶 равны и противоположны по знаку, так что результирующая сила направлена полностью по радиусу 𝐶𝑃. Это лишь подтверждает уже доказанное нами утверждение, что сфера является эквипотенциальной поверхностью, т. е. поверхностью к которой сила всегда перпендикулярна.

Составляющая результирующей силы вдоль 𝐶𝑃, т.е. нормали к поверхности в ту сторону, где расположен заряд 𝐴 равна

𝑅

=

-𝑒

ƒ²-𝑎²

𝑎

⋅

1

𝐴𝑃³

.

(3)

Если считать 𝐴 расположенным внутри сферы, то ƒ меньше 𝑎 и силу 𝑅 следует отсчитывать внутрь. В этом случае

𝑅

=

-𝑒

𝑎²-ƒ²

𝑎

⋅

1

𝐴𝑃³

.

(4)

Во всех случаях можно написать

𝑅

=

-𝑒

𝐴𝐷⋅𝐴𝑑

𝐶𝑃

⋅

1

𝐴𝑃³

,

(5)

где 𝐴𝐷 и 𝐴𝑑 - отрезки любой прямой, проходящей через точку 𝐴 и пересекающей сферу, а их произведение считается положительным во всех случаях.

158. Отсюда следует, что, согласно теореме Кулона из п. 80, поверхностная плотность в точке 𝑃 равна

σ

=

-𝑒

𝐴𝐷⋅𝐴𝑑

4π⋅𝐶𝑃

⋅

1

𝐴𝑃³

,

(6)

Плотность электричества в произвольной точке сферы меняется обратно пропорционально кубу расстояния от точки 𝐴.

Это поверхностное распределение электричества вместе с точечным зарядом 𝐴 создаёт по ту же сторону поверхности, где находится точка 𝐴, потенциал, эквивалентный потенциалу заряда 𝑒 в точке 𝐴 и его изображения -𝑒𝑎/ƒ в точке 𝐵, а по другую сторону поверхности потенциал всюду равен нулю. Поэтому само поверхностное распределение заряда создаёт со стороны заряда 𝑒 потенциал, эквивалентный потенциалу изображения -𝑒𝑎/ƒ в точке 𝐵, а с противоположной стороны - потенциал, равный, но противоположный по знаку потенциалу заряда 𝑒 находящегося в точке 𝐴.

Полный заряд на поверхности сферы равен, очевидно, -𝑒𝑎/ƒ так как он эквивалентен изображению в точке 𝐵.

Таким образом, мы получили следующие теоремы о действии распределения электричества по сферической поверхности с поверхностной плотностью, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки 𝐴 находящейся вне или внутри сферы.

Пусть плотность задаётся уравнением

σ

=

𝐶

𝐴𝑃³

(7)

где 𝐶 - некоторая постоянная, тогда, согласно (6),

𝐶

=

-𝑒

𝐴𝐷⋅𝐴𝑑

4π𝑎

.

(8)

Такое поверхностное распределение действует на каждую точку, отделённую от 𝐴 поверхностью, как точечный заряд -𝑒 т.е. 4π𝐶𝑎/(𝐴𝐷⋅𝐴𝑑), помещённый в точку 𝐴.

На каждую точку, находящуюся по ту же сторону от поверхности, что и точка 𝐴, действие эквивалентно действию заряда 4π𝐶𝑎²/(ƒ⋅𝐴𝐷⋅𝐴𝑑), помещённого в точку 𝐵, являющуюся изображением точки 𝐴.

Полное количество электричества на сфере равно первой величине, если точка 𝐴 находится внутри сферы, и второй, если точка 𝐴 вне сферы.

Эти утверждения были установлены сэром У. Томсоном в его оригинальных геометрических исследованиях, касающихся распределения электричества на сферических проводниках, к которым мы и отсылаем читателя.

159. Если систему с известным распределением электричества поместить вблизи проводящей сферы радиуса 𝑎 потенциал которой с помощью заземления поддерживается равным нулю, то будет иметь место суперпозиция электризаций, обусловленная различными частями системы.

Пусть 𝐴₁, 𝐴₂ и т. д.- точки системы, несущие заряд, ƒ₁, ƒ₂, и т. д.- их расстояния от центра сферы, 𝑒₁, 𝑒₂ и т. д.- заряды в этих точках, тогда изображения этих точек 𝐵₁, 𝐵₂ и т. д. будут расположены на тех же радиусах, что и сами точки, на расстояниях 𝑎²/ƒ₁, 𝑎²/ƒ₂ и т. д. от центра сферы и заряды их будут равны -𝑒₁(𝑎/ƒ₁), -𝑒₂(𝑎/ƒ₂) и т. д.

Потенциал вне сферы, создаваемый поверхностной электризацией, будет совпадать с потенциалом, который создала бы система изображений 𝐵₁, 𝐵₂ и т. д. Поэтому эта система называется электрическим изображением системы 𝐴₁, 𝐴₂ и т. д.

Если сфера находится не под нулевым потенциалом, а под потенциалом 𝑉, то следует добавить равномерное распределение электричества на её внешней поверхности с поверхностной плотностью σ=𝑉/(4π𝑎).