Трактат об электричестве и магнетизме

Если экваториальный радиус много меньше полярного, как в случае провода с закруглёнными концами, то

𝑄

=

𝐴𝑉

ln 2𝐴-ln 𝐵

.

(46)

Если и 𝑏, и 𝑐 стремятся к нулю, а их отношение остаётся постоянным, то система поверхностей переходит в две системы конфокальных конусов и систему сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны γ.

Если отношение 𝑏 к 𝑐 равно нулю или единице, то система поверхностей превращается в систему меридиональных плоскостей, систему круговых конусов с общей осью и систему концентрических сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны γ. Это обычная система сферических полярных координат.

Цилиндрические поверхности

153. При бесконечно большом значении 𝑐 поверхности становятся цилиндрическими с образующими, параллельными оси 𝑧. Одна система цилиндров является гиперболической, а именно та, в которую вырождаются двухполостные гиперболоиды. Когда 𝑐 бесконечно велико, 𝑘=0, и, следовательно, θ=α, так что уравнение этой системы имеет вид

𝑥²

sin²α

-

𝑦²

cos²α

=

𝑏²

.

(47)

Другая система цилиндров - эллиптическая, и поскольку 𝑘=0, то β равно

λ₂

_∫

0

𝑑λ₂

√λ₂²-𝑏² 

, т.е.

λ

₂

=

𝑏 ch β

,

и уравнение этой системы имеет вид

𝑥²

(ch β)²

-

𝑦²

(sh β)²

=

𝑏²

.

(48)

Эти две системы поверхностей показаны на рис. X в конце этого тома.

Конфокальные параболоиды

154. Если в общих уравнениях перенести начало координат в точку на оси 𝑥, находящуюся на расстоянии 𝑡 от центра системы, и подставить вместо 𝑥, λ, 𝑎 и 𝑏 соответственно величины 𝑡+𝑥, 𝑡+λ, 𝑡+𝑎 и 𝑡+𝑏 а затем неограниченно увеличивать 𝑡, то мы получим в пределе уравнение системы параболоидов с фокусами в точках 𝑥=𝑏 и 𝑥=𝑐 т.е. уравнение

4(𝑥-λ)

+

𝑦²

λ-𝑏

+

𝑧²

λ-𝑐

=

0.

(49)

Если обозначить переменный параметр для первой системы эллиптических параболоидов через λ, для системы гиперболических параболоидов - через μ и для второй системы эллиптических параболоидов - через ν, то λ, 𝑏, μ, 𝑐, ν будут расположены в порядке нарастания величины и имеют место соотношения

𝑥

=

λ+μ+ν-𝑐-𝑏

,

𝑦²

=

4

(𝑏-λ)(μ-𝑏)(ν-𝑏)

𝑐-𝑏

𝑧²

=

4

(𝑐-λ)(𝑐-μ)(ν-𝑐)

𝑐-𝑏

(50)

Чтобы избежать бесконечных значений в интегралах (7) для параболической системы, соответствующие интегралы берутся в других пределах.

В этом случае полагают

α

=

𝑏

∫

λ

𝑑λ

√(𝑏-λ)(𝑐-λ) 

,

β

=

μ

∫

𝑏

𝑑μ

√(μ-𝑏)(𝑐-μ) 

,

γ

=

ν

∫

𝑐

𝑑ν

√(ν-𝑏)(ν-𝑐) 

,

откуда

λ

=

½[

(𝑐+𝑏)

-

(𝑐+𝑏)

ch α

],

μ

=

½[

(𝑐+𝑏)

-

(𝑐+𝑏)

cos β

],

ν

=

½[

(𝑐+𝑏)

+

(𝑐+𝑏)

ch γ

];

(51)

𝑥

=

½(𝑐+𝑏)

+

½(𝑐-𝑏)(ch γ-cos β-ch α)

𝑦

=

2(𝑐-𝑏)

+

sh

α

2

sin

β

2

ch

γ

2

,

𝑧

=

2(𝑐-𝑏)

+

ch

α

2

cos

β

2

sh

γ

2

,

(52)

При 𝑏=𝑐 мы имеем случай параболоидов вращения вокруг оси 𝑥 и

𝑥

=

𝑎(𝑒

^2α

-𝑒

^2γ

)

,

𝑦

=

2𝑎𝑒

^α+γ

cos β

,

𝑧

=

2𝑎𝑒

^α+γ

sin β

.

(53)

Поверхности, для которых постоянно β представляют собой плоскости, проходящие через ось, а β - угол, образуемый такой плоскостью с некоторой фиксированной плоскостью, проходящей через ось.

Поверхности, для которых постоянно α, представляют собой конфокальные параболоиды. При α=-∞ параболоид вырождается в прямую, заканчивающуюся в начале координат.

Значения α, β, γ можно выразить через 𝑟, θ, φ - сферические Полярные координаты с началом координат в фокусе и осью θ, совпадающей с осью параболоидов:

α

=

ln(𝑟

^½

cos½θ)

,

β

=

φ,

γ

=

ln(𝑟

^½

sin½θ)

.

(54)

Случай, когда потенциал равен α, можно сравнить с пространственной зональной гармоникой 𝑟^𝑖𝑃_𝑖. Оба потенциала удовлетворяют уравнению Лапласа и являются однородными функциями от 𝑥, 𝑦, 𝑧, но в случае параболоида на оси имеется разрыв, так как α изменяется при замене θ на θ+2π.

Поверхностная плотность заряда на заряженном параболоиде в безграничном поле (в том числе на полубесконечной прямой) обратно пропорциональна квадратному корню из расстояния от фокуса, или, в случае прямой, расстояния от её конца.

ГЛАВА XI

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ИНВЕРСИЯ

155. Мы уже показали, что для проводящей сферы, находящейся под действием заданного распределения заряда, можно найти распределение заряда на её поверхности методом сферических гармоник.

Для этого нужно разложить потенциал воздействующей системы в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с центром вначале координат, после чего находится соответствующий ряд пространственных гармоник отрицательной степени, описывающий потенциал, обусловленный распределением электричества на сфере.

С помощью этого весьма мощного метода анализа Пуассон нашёл распределение электричества на сфере под влиянием заданной электрической системы и решил даже более сложную задачу нахождения распределения электричества на двух проводящих сферах, влияющих друг на друга. Эти исследования были существенно продолжены Плана и другими, подтвердившими точность расчётов Пуассона.

Применяя этот метод к наиболее простому случаю сферы, находящейся под действием единичного точечного заряда, мы должны разложить потенциал точечного заряда в ряд по пространственным гармоникам и найти второй ряд пространственных гармоник, описывающий потенциал вне сферы, создаваемый электризацией сферы.