Трактат об электричестве и магнетизме

Рассмотрим теперь элемент объёма, заключённый между поверхностями α, β, γ и α+𝑑α, β+𝑑β, γ+𝑑γ. Таких элементов будет восемь, по одному в каждом октанте пространства.

Мы нашли поверхностный интеграл от нормальной составляющей силы (отсчитываемой внутрь) для элемента поверхности, отсекаемого на поверхности α поверхностями β и β+𝑑β, γ и γ+𝑑γ.

Поверхностный интеграл для соответствующего элемента поверхности α+𝑑α равен

+

𝑑𝑉

𝑑α

𝐷₁²

𝑐

𝑑β

𝑑γ

+

𝑑²𝑉

𝑑²α

𝐷₁²

𝑐

𝑑α

𝑑β

𝑑γ

,

поскольку 𝐷₁ не зависит от α Поверхностный интеграл по обеим противоположным граням элемента объёма будет равен сумме этих выражений, т. е.

𝑑²𝑉

𝑑α²

𝐷₁²

𝑐

𝑑α

𝑑β

𝑑γ

.

Точно так же поверхностные интегралы по двум другим парам граней равны

𝑑²𝑉

𝑑β²

𝐷₂²

𝑐

𝑑α

𝑑β

𝑑γ

 и

𝑑²𝑉

𝑑γ²

𝐷₃²

𝑐

𝑑α

𝑑β

𝑑γ

Эти шесть граней ограничивают элемент объёмом

𝑑𝑠

₁

𝑑𝑠

₂

𝑑𝑠

₃

=

𝐷₁²𝐷₂²𝐷₃²

𝑐³

𝑑α

𝑑β

𝑑γ

,

и если ρ - объёмная плотность заряда на этом элементе, то, согласно п. 77, мы найдём, что полный поверхностный интеграл по элементу в сумме с умноженным на 4π количеством электричества на нём равен нулю, т. е., деля на 𝑑α 𝑑β 𝑑γ,

𝑑²𝑉

𝑑α²

𝐷

₁

²

+

𝑑²𝑉

𝑑β²

𝐷

₂

²

+

𝑑²𝑉

𝑑γ²

𝐷

₃

²

+

4πρ

𝐷₁²𝐷₂²𝐷₃²

𝑐³

=

0.

(11)

Уравнение (11) представляет собой пуассоновское обобщение уравнения Лапласа, записанное в эллипсоидальных координатах.

При ρ=0 четвёртый член исчезает и уравнение эквивалентно уравнению Лапласа.

Общее рассмотрение этого уравнения читатель найдёт в упомянутой выше работе Ламе.

149. Чтобы определить величины α, β, γ, мы можем выразить их в виде обычных эллиптических интегралов, введя вспомогательные углы θ, φ и ψ, где

λ

₁

=

𝑏 sin θ

,

(12)

λ

₂

=

√

𝑐²sinφ+𝑏²sinφ

,

(13)

λ

₃

=

𝑏 sec ψ

.

(14)

Если положить 𝑏=𝑘𝑐 и 𝑘²+𝑘'²=1, то 𝑘 и 𝑘' можно назвать двумя дополнительными модулями конфокальной системы. Тогда получим

α

=

θ

∫

0

𝑑θ

√1-𝑘²sin²θ 

(15)

- эллиптический интеграл первого рода, для которого можно воспользоваться обычным обозначением 𝐹(𝑘,θ).

Таким же образом найдём, что

β

=

φ

∫

0

𝑑φ

√1-𝑘'²cos²φ 

=

𝐹(𝑘')

-

𝐹(𝑘',φ)

,

(16)

где 𝐹(𝑘') - полная функция для модуля 𝑘', а

γ

=

ψ

∫

0

𝑑ψ

√1-𝑘²cos²ψ 

=

𝐹(𝑘)

-

𝐹(𝑘,ψ)

.

(17)

Здесь α представлено как функция угла θ, который, в свою очередь, является функцией от λ₁, β - функция от φ и, следовательно, от λ₂, а γ - функция от ψ и, следовательно, от λ₃.

Можно, наоборот, эти углы и параметры рассматривать как функции от α, β, γ. Свойства таких обратных функций, а также других функций, связанных с ними, рассмотрены в трактате Ламе по этому вопросу.

Легко видеть, что, поскольку параметры - периодические функции от вспомогательных углов, они являются также периодическими функциями от α, β, γ. Периоды λ₁ и λ₃ равны 4𝐹(𝑘), а период λ₂ равен 2𝐹(𝑘').

Частные решения

150. Уравнение Лапласа удовлетворяется, если 𝑉 является линейной функцией от α, β, γ. Следовательно, мы можем найти из уравнения распределение электричества на любых двух конфокальных поверхностях одного семейства, находящихся под заданными потенциалами, а также определить потенциал в любой точке между ними.

Двухполостный гиперболоид

Постоянное α соответствует двух полостному гиперболоиду. Пусть на рассматриваемом листе поверхности α имеет тот же знак, что и 𝑥. Так мы сможем рассматривать по отдельности каждый лист.

Пусть α₁ и α₂ - значения α, соответствующие двум одиночным листам, которые могут принадлежать разным гиперболоидам или одному и тому же, и пусть 𝑉₁ и 𝑉₂ - значения поддерживаемых на них потенциалов. Тогда, если положить

𝑉

=

α₁𝑉₂-α₂𝑉₁+α(𝑉₁-𝑉₂)

α₁-α₂

,

(18)

то будут выполнены все условия на обеих поверхностях и в пространстве между ними. Если в объёме за поверхностью α₁ положить 𝑉 постоянным и равным 𝑉₁, а в объёме за поверхностью α₂ положить 𝑉 постоянным и равным 𝑉₂, то мы получим полное решение для этого частного случая.

Результирующая сила в любой точке обоих листов равна

±𝑅

₁

=

-

𝑑𝑉

𝑑𝑠₁

=

-

𝑑𝑉

𝑑α

𝑑α

𝑑𝑠₁

,

(19)

или

𝑅

₁

=

𝑉₁-𝑉₂

α₁-α₂

𝑐

𝐷₂𝐷₃

.

(20)

Если 𝑝₁ - перпендикуляр из центра к касательной плоскости в произвольной точке, а 𝑃₁ - произведение полуосей поверхности, то 𝑝₁𝐷₂𝐷₃=𝑃₁ Отсюда следует, что

𝑅

₁

=

𝑉₁-𝑉₂

α₁-α₂

𝑐𝑝₁

𝑃₁

,

(21)

т.е. сила в любой точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости.

Поверхностная плотность σ может быть найдена из уравнения

4πσ

=

𝑅

₁

(22)

Полное количество электричества на сегменте, отсекаемом на листе гиперболоида плоскостью 𝑥=𝑑, равно

𝑄

=

𝑐

2

𝑉₁-𝑉₂

α₁-α₂

⎛

⎜

⎝

𝑑

λ₁

-1

⎞

⎟

⎠

.

(23)

Следовательно, полный заряд на всем бесконечном листе бесконечен.

Предельные формы этой поверхности:

1. При α=𝐹(𝑘) поверхность является частью плоскости 𝑥𝑦 расположенной с положительной стороны от положительной ветви гиперболы, уравнение которой

𝑥²

𝑎²

-

𝑧²

𝑐²-𝑏²

=

1.

(24)

2. При α=0 поверхность переходит в плоскость 𝑦𝑧.

3. При α=-𝐹(𝑘) поверхность является частью плоскости 𝑥𝑧, расположенной с отрицательной стороны от отрицательной ветви той же гиперболы.

Однополостный гиперболоид