Трактат об электричестве и магнетизме

¹⁰

𝑏

⁶

+

120𝑎

⁸

𝑏

⁸

+

126𝑎

⁵

𝑏

¹¹

)

𝑐

^-16

+…

(28)

𝑞

₄

=

𝑎

⁵

𝑐

^-5

+

10𝑎

⁸

𝑏

³

𝑐

^-11

+

+

(

15𝑎

¹⁰

𝑏

³

+

45𝑎

⁸

𝑏

⁵

)

𝑐

^-13

+

+

(

20𝑎

¹²

𝑏

³

+

90𝑎

¹⁰

𝑏

⁵

+

140𝑎

⁸

𝑏

⁷

)

𝑐

^-15

+

+

(

25𝑎

¹⁴

𝑏

³

+

150𝑎

¹²

𝑏

⁵

+

40𝑎

¹¹

𝑏

⁶

+

350𝑎

¹⁰

𝑏

⁷

+

+

350𝑎

⁸

𝑏

⁹

)

𝑐

^-17

+…

(29)

𝑝

₅

=

6𝑎

⁶

𝑏

³

𝑐

^-9

+

21𝑎

⁶

𝑏

⁵

𝑐

^-11

+

56𝑎

⁶

𝑏

⁷

𝑐

^-13

+

+

(

24𝑎

⁹

𝑏

⁶

+

126𝑎

⁶

𝑏

⁹

)

𝑐

^-15

+…

(30)

𝑞

₅

=

𝑎

⁶

𝑐

^-6

+

12𝑎

⁹

𝑏

³

𝑐

^-12

+

+

(

18𝑎

¹¹

𝑏

³

+

63𝑎

⁹

𝑏

⁵

)

𝑐

^-14

+

+

(

24𝑎

¹³

𝑏

³

+

126𝑎

¹¹

𝑏

⁵

+

224𝑎

⁹

𝑏

⁷

)

𝑐

^-16

+…

(31)

𝑝

₆

=

7𝑎

⁷

𝑏

³

𝑐

^-10

+

28𝑎

⁷

𝑏

⁵

𝑐

^-12

+

84𝑎

⁷

𝑏

⁷

𝑐

^-14

+…

(32)

𝑞

₆

=

𝑎

⁷

𝑐

^-7

+

14𝑎

¹⁰

𝑏

³

𝑐

^-13

+

+

(

21𝑎

¹²

𝑏

³

+

84𝑎

¹⁰

𝑏

⁵

)

𝑐

^-15

+…

(33)

𝑝

₇

=

8𝑎

⁸

𝑏

³

𝑐

^-11

+

36𝑎

⁸

𝑏

⁵

𝑐

^-13

+…

(34)

𝑞

₇

=

𝑎

⁸

𝑐

^-8

+

16𝑎

¹¹

𝑏

³

𝑐

^-14

+…

(35)

𝑝

₈

=

9𝑎

⁹

𝑏

³

𝑐

^-12

+…

(36)

𝑞

₈

=

𝑎

⁹

𝑐

^-9

+…

(37)

Значения 𝑟_𝑛 и 𝑠_𝑛 можно написать, переставив 𝑎 и 𝑏 соответственно в 𝑝_𝑛 и в 𝑞_𝑛.

Если теперь выразить потенциалы обеих сфер через эти коэффициенты в виде

α

=

𝑙𝐴

+

𝑚𝐵

,

(38)

β

=

𝑚𝐴

+

𝑛𝐵

,

(39)

то величины 𝑙, 𝑚, 𝑛 будут коэффициентами потенциала (п. 87), причём

𝑚

=

𝑐

^-1

+

𝑝

₁

𝑎𝑐

^-2

+

𝑝

₂

𝑎

²

𝑐

^-3

+

…,

(40)

𝑛

=

𝑏

^-1

-

𝑞

₁

𝑎𝑐

^-2

-

𝑞

₂

𝑎

²

𝑐

^-3

-

…,

(41)

или, выражая через 𝑎, 𝑏, 𝑐,

𝑚

=

𝑐

^-1

+

2𝑎

³

𝑏

³

𝑐

^-7

+

3𝑎

³

𝑏

³

(

𝑎

²

+

𝑏

²

)

𝑐

^-7

+

+

𝑎

³

𝑏

³

(

4𝑎

⁴

+

6𝑎

²

𝑏

²

+

4𝑏

⁴

)

𝑐

^-11

+

+

𝑎

³

𝑏

³

[

5𝑎

⁶

+

10𝑎

⁴

𝑏

²

+

8𝑎

³

𝑏

³

+

10𝑎

²

𝑏

⁴

+

5𝑎

⁶

]

𝑐

^-13

+

+

𝑎

³

𝑏

³

[

6𝑎

⁸

+

15𝑎

⁶

𝑏

²

+

30𝑎

⁵

𝑏

³

+

20𝑎

⁴

𝑏

⁴

+

30𝑎

³

𝑏

⁵

+

+

15𝑎

²

𝑏

⁶

+

6𝑏

⁸

]

𝑐

^-15

+

+

𝑎

³

𝑏

³

[

7𝑎

¹⁰

+

21𝑎

⁸

𝑏

²

+

75𝑎

⁷

𝑏

³

+

35𝑎

⁶

𝑏

⁴

+

144𝑎

⁵

𝑏

⁵

+

+

35𝑎

⁴

𝑏

⁶

+

75𝑎

³

𝑏

⁷

+

21𝑎

²

𝑏

⁸

+

7𝑏

¹⁰

]

𝑐

^-17

+

+

𝑎

³

𝑏

³

[

8𝑎

¹²

+

28𝑎

¹⁰

𝑏

²

+

154𝑎

⁹

𝑏

³

+

56𝑎

⁸

𝑏

⁴

+

+

446𝑎

⁷

𝑏

⁵

+

102𝑎

⁶

𝑏

⁶

+

446𝑎

⁵

𝑏

⁷

+

56𝑎

⁴

𝑏

⁸

+

+

154𝑎

³

𝑏

⁹

+

28𝑎

²

𝑏

¹⁰

+

8𝑏

¹²

]

𝑐

^-19

+

+

𝑎

³

𝑏

³

[

9𝑎

¹⁴

+

36𝑎

¹²

𝑏

²

+

280𝑎

¹¹

𝑏

³

+

84𝑎

¹⁰

𝑏

⁴

+

+

1107𝑎

⁹

𝑏

⁵

+

318𝑎

⁸

𝑏

⁶

+

1668𝑎

⁷

𝑏

⁷

+

318𝑎

⁶

𝑏

⁸

+

+

1107𝑎

⁵

𝑏

⁹

+

84𝑎

⁴

𝑏

¹⁰

+

280𝑎

³

𝑏

¹¹

+

36𝑎

²

𝑏

¹²

+

+

9𝑏

¹⁴

]

𝑐

^-21

+…

(42)

𝑛

=

𝑏

^-1

-

𝑎

³

𝑐

^-4

-

𝑎

⁵

𝑐

^-6

-

𝑎

⁷

𝑐

^-8

-

(

𝑎

³

+

4𝑏

³

)

𝑎

⁶

𝑐

^-10

-

-

(

𝑎

⁵

+

12𝑎

²

𝑏

³

+

9𝑏

⁵

)

𝑎

⁶

𝑐

^-12

-

-

(

𝑎

⁷

+

25𝑎

⁴

𝑏

³

+

36𝑎

²

𝑏

⁵

+

16𝑏

⁷

)

𝑎

⁶

𝑐

^-14

-

-

(

𝑎

⁹

+

44𝑎

⁶

𝑏

³

+

96𝑎

⁴

𝑏

⁵

+

16𝑎

³

𝑏

⁶

+

80𝑎

²

𝑏

⁷

+

+

25𝑏

⁹

)

𝑎

⁶

𝑐

^-16

-

-

(

𝑎

¹¹

+

70𝑎

⁸

𝑏

³

+

210𝑎

⁶

𝑏

⁵

+

84𝑎

⁵

𝑏

⁶

+

260𝑎

⁴

𝑏

⁷

+

+

73𝑎

³

𝑏

⁸

+

150𝑎

²

𝑏

⁹

+

36𝑏

¹¹

)

𝑎

⁶

𝑐

^-18

-

-

(

𝑎

¹³

+

104𝑎

¹⁰

𝑏

³

+

406𝑎

⁸

𝑏

⁵

+

272𝑎

⁷

𝑏

⁶

+

680𝑎

⁶

𝑏

⁷

+

+

468𝑎

⁵

𝑏

⁸

+

575𝑎

⁴

𝑏

⁹

+

209𝑎

³

𝑏

¹⁰

+

252𝑎

²

𝑏

¹¹

+

+

49𝑏

¹³

)

𝑎

⁶

𝑐

^-20

-

-

(

𝑎

¹⁵

+

174𝑎

¹²

𝑏

³

+

710𝑎

¹⁰

𝑏

⁵

+

693𝑎

⁹

𝑏

⁶

+

1548𝑎

⁸

𝑏

⁷

+

+

1836𝑎

⁷

𝑏

⁸

+

1814𝑎

⁶

𝑏

⁹

+

1640𝑎

⁵

𝑏

¹⁰

+

1113𝑎

⁴

𝑏

¹¹

+

+

488𝑎

³

𝑏

¹²

+

392𝑎

²

𝑏

¹³

+

64𝑏

¹⁵

)

𝑎

⁶

𝑐

^-22

+…

(43)

Выражение для 𝑙 может быть получено из выражения для 𝑛 перестановкой 𝑎 и 𝑏.

Потенциальная энергия системы, согласно п. 87, равна

𝑊

=

1

2

𝑙𝐴²

+

𝑚𝐴𝐵

+

1

2

𝑛𝐵²

,

(44)

а сила расталкивания обеих сфер, согласно п. 93а, равна

-

𝑑𝑊

𝑑𝑐

+

1

2

𝐴²

𝑑𝑙

𝑑𝑐

+

𝐴𝐵

𝑑𝑚

𝑑𝑐

+

1

2

𝐵²

𝑑𝑛

𝑑𝑐

.

(45)

Поверхностная плотность заряда в любой точке каждой сферы даётся уравнениями (1) и (4) как функция коэффициентов 𝐴_𝑛 и 𝐵_𝑛.

ГЛАВА X

КОНФОКАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ¹

¹ Это исследование заимствовано главным образом из весьма интересной книги «Leçons sur les Fonctions Invérses des Transcendantes et les Surfaces Isolhermes», par G. Lamé, Paris, 1857.

147. Пусть общее уравнение конфокальной системы имеет вид

𝑥²

λ²-𝑎²

+

𝑦²

λ²-𝑏²

+

𝑧²

λ²-𝑐²

=

1,

(1)

где λ - переменный параметр, для которого индексом мы будем различать вид поверхности второго порядка, а именно будем писать λ₁ для двухполостного гиперболоида, λ₂ - для однополостного гиперболоида и λ₃ - для эллипсоида. Величины 𝑎, λ₁, 𝑏, λ₂, 𝑐, λ₃, возрастают в указанном здесь порядке. Величина 𝑎 введена здесь ради симметрии, в наших окончательных результатах мы будем всегда считать 𝑎=0.

Если мы рассмотрим три поверхности с параметрами λ₁, λ₂, λ₃, то из уравнений этих поверхностей найдём, что значение 𝑥² в точке пересечения удовлетворяет уравнению

𝑥²

(𝑏²-𝑎²)

(𝑐²-𝑎²)

=

(λ

₁

²-𝑎²)

(λ

₂

²-𝑎²)

(λ

₃

²-𝑎²)

.

(2)

Значения 𝑦² и 𝑧² могут быть найдены симметричной перестановкой 𝑎, 𝑏, 𝑐. Дифференцируя это равенство по λ₁, получим

𝑑𝑥

𝑑λ₁

=

λ₁

λ₁²-𝑎

𝑥

.

(3)

Если 𝑑𝑠₁ - длина участка кривой пересечения поверхностей λ₂ и λ₃, отсекаемого поверхностями λ₁ и λ₁+𝑑λ₁, то

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑠₁

𝑑λ₁

⎞²

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥

𝑑λ₁

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦

𝑑λ₁

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑧

𝑑λ₁

⎞²

⎟

⎠

=

=

λ₁²(λ₂²-λ₁²)(λ₃²-λ₁²)

(λ₁²-𝑎²)(λ₁²-𝑏²)(λ₁²-𝑐²)

.

(4)

Знаменатель этой дроби равен произведению квадратов полуосей поверхности λ₁.

Обозначим

𝐷

₁

²

=

λ

₃

²

-

λ

₂

²

,

𝐷

₂

²

=

λ

₃

²

-

λ

₁

²

,

𝐷

₃

²

=

λ

₂

²

-

λ

₁

²

(5)

и положим 𝑎=0. Тогда

𝑑𝑠₁

𝑑λ₁

=

𝐷₂𝐷₃

√𝑏²-λ₁²√𝑐²-λ₁² 

.

(6)

Легко видеть, что 𝐷₂ и 𝐷₃ - полуоси центрального сечения поверхности λ₁, сопряжённого диаметру, проходящему через данную точку, и что полуось 𝐷₃ параллельна 𝑑𝑠₂, а 𝐷₂ параллельна 𝑑𝑠₃.

Если, кроме того, мы выразим три параметра λ₁, λ₂, λ₃ через три функции α, β, γ, определяемые уравнениями

α

=

λ₁

∫

0

𝑐𝑑λ₁

√(𝑏²-λ₁²)(𝑐²-λ₁²) 

,

β

=

λ₂

∫

𝑏

𝑐𝑑λ₂

√(λ₂²-𝑏²)(𝑐²-λ₂²) 

,

γ

=

λ₃

∫

𝑐

𝑐𝑑λ₃

√(λ₃²-𝑏²)(λ₃²-𝑐²) 

,

(7)

то получим

𝑑𝑠

₁

=

1

𝑐

𝐷

₂

𝐷

₃

𝑑α

,

𝑑𝑠

₂

=

1

𝑐

𝐷

₃

𝐷

₁

𝑑β

,

𝑑𝑠

₃

=

1

𝑐

𝐷

₁

𝐷

₂

𝑑γ

.

(8)

148. Пусть теперь 𝑉 - потенциал произвольной точки α, β, γ, тогда составляющая результирующей силы в направлении 𝑑𝑠₁ равна

𝑅

₁

=

-

𝑑𝑉

𝑑𝑠₁

=

-

𝑑𝑉

𝑑α

𝑑α

𝑑𝑠₁

=

-

𝑑𝑉

𝑑α

𝑐

𝐷₂𝐷₃

.

(9)

Поскольку 𝑑𝑠₁, 𝑑𝑠₂, 𝑑𝑠₃ взаимно перпендикулярны, поверхностный интеграл по элементу площади 𝑑𝑠₂𝑑𝑠₃ равен

𝑅

₁

𝑑𝑠

₂

𝑑𝑠

₃

=

-

𝑑𝑠α

𝑑₁

𝑑𝑉

𝑑α

𝐷₃𝐷₁

𝑐

𝐷₁𝐷₂

𝑐

𝑑β

𝑑γ

=

=

-

𝑑𝑉

𝑑α

𝐷₁²

𝑐

𝑑β

𝑑γ

.

(10)