Трактат об электричестве и магнетизме

Но на сфере потенциал постоянен, т. е.

Ψ

+

1

𝑎

𝐴

₀

+

∑∑

⎡

⎢

⎣

𝑟^𝑛₁

𝑎^𝑛₁+1

𝐴

(σ₁)

𝑛₁

𝑌

(σ₁)

𝑛₁

⎤

⎥

⎦

=

const.

(7)

Применим теперь к этому выражению операцию 𝐷^(σ₁)_𝑛₁, где дифференцирование производится по 𝑥, 𝑦, 𝑧, а значения 𝑛₁ и σ₁ независимы от 𝑛 и σ. В (7) обращаются в нуль все члены, кроме члена с 𝑉^(σ₁)_𝑛₁ и мы получаем

-2

(𝑛₁+σ₁)!(𝑛₁-σ₁)!

2^2σ𝑛₁!

1

𝑎^𝑛₁+1

𝐴

(σ₁)

𝑛₁

=

=

𝐴

₀

𝐷

(σ₁)

𝑛₁

𝐺

+

∑∑

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑛

𝐴

(σ)

𝑛

𝑎^𝑛

𝑛!

𝐷

(σ₁)

𝑛₁

𝐷'

(σ)

𝑛

𝐺

⎤

⎥

⎦

.

(8)

Таким образом, мы получили систему уравнений, в левой части которых содержится подлежащий определению коэффициент. Первое слагаемое в правой части содержит 𝐴₀ заряд сферы, его можно считать главным слагаемым.

Если пока остальными слагаемыми пренебречь, то получится в первом приближении

𝐴

(σ₁)

𝑛₁

=

-

1

2

2^2σ𝑛₁!

(𝑛₁+σ₁)!(𝑛₁-σ₁)!

𝐴

₀

𝑎

^𝑛₁+1

𝐷

(σ)

𝑛

𝐺

.

(9)

Если наименьшее расстояние от центра сферы до ближайшего из окружающих проводников обозначить через 𝑏, то

𝑎

^𝑛₁+1

𝐷

(σ)

𝑛

𝐺

<

𝑛

₁

!

⎛

⎜

⎝

𝑎

𝑏

⎞𝑛₁+1

⎟

⎠

.

Следовательно, при 𝑏 много большем радиуса сферы 𝑎, коэффициенты остальных сферических гармоник много меньше 𝐴₀. Отношение последующих членов в правой части уравнения (8) к первому будет порядка (𝑎/𝑏)^{2𝑛+𝑛₁}+1. Поэтому в первом приближении ими можно пренебречь. Во втором приближении можно в эти члены подставить значения коэффициентов из первого приближения и так далее до тех пор, пока не будет достигнута нужная степень приближения.

Распределение электричества на почти сферическом проводнике

145 а. Пусть уравнение поверхности проводника имеет вид

𝑟=𝑎(1+𝐹)

,

(1)

где 𝐹 - функция от направления 𝑎, т.е. от θ и ψ квадратом которой можно пренебречь в данном исследовании.

Представим 𝐹 в виде ряда по поверхностным гармоникам

𝐹

=

ƒ

₀

+

ƒ

₁

𝑌

₁

+

ƒ

₂

𝑌

₂

+…+

ƒ

_𝑛

𝑌

_𝑛

.

(2)

Из всех этих членов первый член определяется отличием среднего радиуса от 𝑎 Если предположить, что 𝑎 равно среднему радиусу, т. е. приблизительно равно радиусу сферы того же объёма, что и заданный проводник, то коэффициент ƒ₀ обратится в нуль.

Второе слагаемое, с коэффициентом ƒ₁, зависит от расстояния между центром масс проводника, предполагаемого однородным по плотности, и началом координат. Если принять центр масс за начало координат, то коэффициент ƒ₁ тоже обратится в нуль.

Предположим сначала, что на проводник с зарядом 𝐴₀ не действует внешняя электрическая сила. Тогда потенциал вне проводника должен иметь вид

𝑉

=

𝐴

₀

1

𝑟

+

𝐴

₁

𝑌'

₁

1

𝑟²

+…+

𝐴

_𝑛

𝑌'

_𝑛

1

𝑟^𝑛+1

+…

.

(3)

Здесь не предполагается, что поверхностные гармоники того же вида, что и в разложении 𝐹.

На поверхности проводника потенциал равен потенциалу проводника, т. е. постоянной величине 𝑎. Поэтому, выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹 и пренебрегая квадратами и высшими степенями 𝐹, мы получим

α

=

𝐴

₀

1

𝑎

(1-𝐹)

+

𝐴

₁

1

𝑎²

𝑌'

₁

(1-2𝐹)

+…+

+

𝐴

_𝑛

1

𝑎^𝑛+1

𝑌'

_𝑛

(1-(𝑛-1)𝐹)

+…+

(4)

Поскольку коэффициенты 𝐴₁ и т. д., очевидно, много меньше 𝐴₀, мы можем для начала пренебречь произведениями этих коэффициентов на 𝐹.

Если теперь подставить вместо 𝐹 в первом члене (4) его разложение по сферическим гармоникам и приравнять нулю слагаемые со сферическими гармоникам одинакового порядка, мы получим

α

=

𝐴

₀

/𝑎

,

(5)

𝐴

₁

𝑌'

₁

=

𝐴

₀

𝑎ƒ

₁

𝑌

₁

=

0,

(6)

. . . . . . . . .

𝐴

_𝑑

𝑌'

_𝑑

=

𝐴

₀

𝑎

^𝑑

ƒ

_𝑑

𝑌

_𝑑

.

(7)

Из этих уравнений следует, что функции 𝑌 должны быть того же типа, что и 𝑌' и, следовательно, совпадать с ними, и что 𝐴₁=0 и 𝐴_𝑑=𝐴₀𝑎^𝑛ƒ^𝑛.

Для определения плотности заряда в произвольной точке поверхности можно воспользоваться уравнением

4πσ

=

-

𝑑𝑉

𝑑ν

=

-

𝑑𝑉

𝑑𝑟

cos ε (приближённо).

(8)

Здесь ν - нормаль, а ε - угол между нормалью и радиусом. Поскольку в нашем исследовании мы считаем 𝐹 и его первые производные по θ и φ малыми, мы можем считать cos ε=1, так что

4πσ

=

-

𝑑𝑉

𝑑𝑟

=

𝐴

₀

1

𝑟²

+…+

(𝑛+1)

𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

2

𝑟^𝑛+2

+…

.

(9)

Выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹 и пренебрегая произведениями 𝐹 на 𝐴_𝑛, получим

4πσ

=

𝐴

₀

1

𝑎²

(1-2𝐹)

+…+

(𝑎+1)

𝐴

_𝑛

1

𝑎^𝑛+2

𝑌

_𝑛

.

(10)

Разлагая 𝐹 по сферическим гармоникам и подставляя найденные значения 𝐴_𝑛, получим

4πσ

=

𝐴

₀

1

𝑎²

[

1

+

ƒ

₂

𝑌

₂

+

2ƒ

₃

𝑌

₃

+…+

(𝑛-1)

ƒ

_𝑛

𝑌

_𝑛

]

.

(11)

Таким образом, если поверхность отличается от поверхности сферы тонким слоем, толщина которого меняется как сферическая гармоника порядка 𝑛 то отношение разности поверхностных плотностей заряда в любых двух точках к их сумме в 𝑛-1 раз больше отношения разностей радиус-векторов этих двух точек к их сумме.

145 б. Пусть теперь почти сферический проводник находится под действием внешних электрических сил, потенциал которых обозначим через 𝑈. Разложим его в ряд по сферическим гармоникам положительной степени с началом координат в центре объёма проводника

𝑈

=

𝐵

₀

+

𝐵

₁

𝑟𝑌'

₁

+

𝐵

₂

𝑟

²

𝑌'

₂

+…+

𝐵

_𝑛

𝑟

^𝑛

𝑌'

_𝑛

+…

.

(12)

Штрихи при 𝑌 показывают, что эти гармоники не обязательно того же типа, что гармоники того же порядка в разложении для 𝐹.

Если бы проводник был точно сферическим, то потенциал, создаваемый его поверхностным зарядом в точке вне проводника, был бы равен

𝑉

=

𝐴

₀

1

𝑟

-

𝐵

₁

𝑎³

𝑟²

𝑌'

₁

-…-

𝐵

_𝑛

𝑎^2𝑛+1

𝑟^𝑛+1

𝑌'

_𝑛

-…

.

(13)

Пусть истинный потенциал, создаваемый поверхностным зарядом, равен 𝑉+𝑊 где

𝑊

=

𝐶

₁

1

𝑟²

𝑌''

₂

+…+

𝐶

_𝑚

1

𝑟^𝑚+1

𝑌''

_𝑚

+…

.

(14)