Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью
Отсюда, дифференцируя по 𝑟 полагая после дифференцирования 𝑟=0 и учитывая, что в полюсе каждая зональная гармоника равна единице, получим
𝐴
1
1
𝑎2
-
𝑑𝑉
𝑑𝑠
=
0,
𝐴
2
2!
𝑎3
-
𝑑2
𝑉𝑑2
𝑠=
0,
…,
𝐴
𝑚
𝑚!
𝑎𝑚+1
+
(-1)
𝑚
𝑑𝑚
𝑉𝑑𝑚
𝑠=
0,
(11)
где после дифференцирования 𝑠 следует положить равным 𝑐.
Если выполнить дифференцирование и положить 𝑎/𝑐=𝑥 и 𝑏/𝑐=𝑥, то уравнения примут вид
0
=
𝐴
1
+
𝐵𝑥
2
+
2𝐵
1
𝑥
2
𝑦
+
3𝐵
2
𝑥
2
𝑦
2
+…+
(𝑛+1)
𝐵
𝑛
𝑥
2
𝑦
𝑛
,
0
=
𝐴
2
+
𝐵𝑥
3
+
3𝐵
1
𝑥
3
𝑦
+
6𝐵
2
𝑥
3
𝑦
2
+…+
+
1
2
(𝑛+1)
(𝑛+2)
𝐵
𝑛
𝑥
3
𝑦
𝑛
,
.................
0
=
𝐴
𝑚
+
𝐵𝑥
𝑚+1
+
(𝑚+1)
𝐵
1
𝑥
𝑚+1
𝑦
+
+
1
2
(𝑚+1)(𝑚+2)
𝐵
2
𝑥
𝑚+1
𝑦
2
+…+
(𝑚+𝑛)!
𝑚!𝑛!
𝐵
𝑛
𝑥
𝑚+1
𝑦
𝑛
.
(12)
Соответствующие выкладки для другой сферы дают
0
=
𝐵
1
+
𝐴𝑦
2
+
2𝐴
1
𝑥𝑦
2
+
3𝐴
2
𝑥
2
𝑦
2
+…+
(𝑚+1)
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
𝑦
2
,
0
=
𝐴
2
+
𝐴𝑦
3
+
3𝐴
1
𝑥𝑦
3
+
6𝐴
2
𝑥
2
𝑦
3
+…+
+
1
2
(𝑚+1)
(𝑚+2)
𝐴
𝑚
𝑥
𝑛
𝑦
3
,
.................
0
=
𝐵
𝑛
+
𝐴𝑦
𝑛+1
+
(𝑛+1)
𝐴
1
𝑥𝑦
𝑛+1
+
+
1
2
(𝑛+1)(𝑛+2)
𝐴
2
𝑥
2
𝑦
𝑛+1
+…+
(𝑚+𝑛)!
𝑚!𝑛!
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
𝑦
𝑛+1
.
(13)
Для нахождения потенциалов α и β обеих сфер у нас имеются уравнения (7) и (8), которые мы можем теперь записать в виде
𝑐α
=
𝐴
1
𝑥
+
𝐵
+
𝐵
1
𝑦
+
𝐵
2
𝑦
2
+…+
𝐵
𝑛
𝑦
𝑛
,
(14)
𝑐β
=
𝐵
1
𝑦
+
𝐴
+
𝐴
1
𝑥
+
𝐴
2
𝑥
2
+…+
𝐴
𝑚
𝑥
𝑚
(15)
Таким образом, если ограничиться коэффициентами от 𝐴
1 до 𝐴𝑚 и от 𝐵1 до 𝐵𝑛, то у нас есть 𝑚+𝑛 уравнений для выражения этих величин через заряды обеих сфер 𝐴 и 𝐵, а подставляя значения этих коэффициентов в (14) и (15), мы можем выразить потенциалы сфер через их заряды.Эти операции можно произвести с помощью определителей, но с вычислительной точки зрения удобнее действовать следующим образом.
Подставив в уравнение (12) значения 𝐵
1, …, 𝐵𝑛 из уравнений (13), мы получим𝐴
1
=
-
𝐵𝑥
2
+
+
𝐴𝑥
2
𝑦
3
[
2⋅1
+
3⋅1𝑦
2
+
4⋅1𝑦
4
+
5⋅1𝑦
6
+
6⋅1𝑦
8
+…
]
+
+
𝐴
1
𝑥
3
𝑦
3
[
2⋅2
+
3⋅3𝑦
2
+
4⋅4𝑦
4
+
5⋅5𝑦
6
+…
]
+
+
𝐴
2
𝑥
4
𝑦
3
[
2⋅3
+
3⋅6𝑦
2
+
4⋅10𝑦
4
+…
]
+
+
𝐴
3
𝑥
5
𝑦
3
[
2⋅4
+
3⋅10𝑦
2
+…
]
+
+
𝐴
4
𝑥
6
𝑦
3
[
2⋅5
+…
]
+
…;
(16)
𝐴
2
=
-
𝐵𝑥
3
+
+
𝐴𝑥
3
𝑦
3
[
3⋅1
+
6⋅1𝑦
2
+
10⋅1𝑦
4
+
15⋅1𝑦
6
+…
]
+
+
𝐴
1
𝑥
4
𝑦
3
[
3⋅2
+
6⋅3𝑦
2
+
10⋅4𝑦
4
+…
]
+
+
𝐴
2
𝑥
5
𝑦
3
[
3⋅3
+
6⋅6𝑦
2
+…
]
+
+
𝐴
3
𝑥
6
𝑦
3
[
3⋅4
+…
]
+
…;
(17)
𝐴
3
=
-
𝐵𝑥
4
+
+
𝐴𝑥
4
𝑦
3
[
4⋅1
+
10⋅1𝑦
2
+
20⋅1𝑦
4
+…
]
+
+
𝐴
1
𝑥
5
𝑦
3
[
4⋅2
+
10⋅3𝑦
2
+…
]
+
+
𝐴
2
𝑥
6
𝑦
3
[
4⋅3
+…
]
+
…;
(18)
𝐴
4
=
-
𝐵𝑥
5
+
+
𝐴𝑥
5
𝑦
3
[
5⋅1
+
15⋅1𝑦
2
+…
]
+
+
𝐴
1
𝑥
6
𝑦
3
[
5⋅2
+…
]
+
…;
(19)
Подставляя в правые части этих равенств приближённые значения 𝐴
1 и т. д. и повторяя этот процесс для высших приближений, мы можем довести приближение для коэффициента до любой степени по восходящим степеням и произведениям 𝑥 и 𝑦. Если положить𝐴
𝑛
=
𝑝
𝑛
𝐴
+
𝑞
𝑛
𝐵
,
𝐵
𝑛
=
-
𝑟
𝑛
𝐴
+
𝑠
𝑛
𝐵
,
то
𝑝
1
=
𝑥
3
𝑦
3
[
2
+
3𝑦
2
+
4𝑦
4
+
5𝑦
6
+
6𝑦
8
+
7𝑦
10
+
8𝑦
12
+
+
9𝑦
14
+…
]
+
+
𝑥
5
𝑦
6
[
8
+
30𝑦
2
+
75𝑦
4
+
154𝑦
6
+
280𝑦
8
+…
]
+
+
𝑥
7
𝑦
6
[
18
+
90𝑦
2
+
288𝑦
4
+
735𝑦
6
+…
]
+
+
𝑥
9
𝑦
6
[
32
+
200𝑦
2
+
780𝑦
4
+…
]
+
+
𝑥
11
𝑦
6
[
50
+
375𝑦
2
+…
]
+
+
𝑥
13
𝑦
6
[
72
+…
]
+
............
+
𝑥
8
𝑦
9
[
32
+
192𝑦
2
+…
]
+
+
𝑥
10
𝑦
9
[
144
+…
]
+
............
(20)
𝑞
1
=
𝑥
2
+
+
𝑥
5
𝑦
3
[
4
+
9𝑦
2
+
16𝑦
4
+
25𝑦
6
+
36𝑦
8
+
49𝑦
10
+
+
64𝑦
12
+…
]
+
+
𝑥
7
𝑦
3
[
6
+
18𝑦
2
+
40𝑦
4
+
75𝑦
6
+
126𝑦
8
+
196𝑦
10
+…
]
+
+
𝑥
9
𝑦
3
[
8
+
30𝑦
2
+
80𝑦
4
+
175𝑦
6
+
3366𝑦
8
+…
]
+
+
𝑥
11
𝑦
3
[
10
+
45𝑦
2
+
140𝑦
4
+
350𝑦
6
+…
]
+
+
𝑥
13
𝑦
3
[
12
+
63𝑦
2
+
224𝑦
4
+…
]
+
+
𝑥
15
𝑦
3
[
14
+
84𝑦
2
+…
]
+
+
𝑥
15
𝑦
3
[
16
+…
]
+
............
+
𝑥
8
𝑦
6
[
16
+
72𝑦
2
+
209𝑦
4
+
488𝑦
6
+…
]
+
+
𝑥
10
𝑦
6
[
60
+
342𝑦
2
+
1222𝑦
4
+…
]
+
+
𝑥
12
𝑦
6
[
150
+
1050𝑦
2
+…
]
+
+
𝑥
14
𝑦
6
[
308
+…
]
+
............
+
𝑥
11
𝑦
9
[
64
+…
]
+
............
(21)
Дальше удобнее будет выразить эти коэффициенты через 𝑎, 𝑏 и 𝑐 и расположить их по степеням 𝑐. Это облегчит дифференцирование по 𝑐. Таким образом, получим
𝑝
1
=
2𝑎
2
𝑏
3
𝑐
-5
+
3𝑎
2
𝑏
5
𝑐
-7
+
4𝑎
2
𝑏
7
𝑐
-9
+
+
(
5𝑎
2
𝑏
9
+
8𝑎
5
𝑏
6
)
𝑐
-11
+
+
(
6𝑎
2
𝑏
11
+
39𝑎
5
𝑏
8
+
18𝑎
7
𝑏
6
)
𝑐
-13
+
+
(
7𝑎
2
𝑏
13
+
75𝑎
5
𝑏
10
+
90𝑎
7
𝑏
8
+
32𝑎
9
𝑏
6
)
𝑐
-15
+
+
(
8𝑎
2
𝑏
15
+
154𝑎
5
𝑏
12
+
288𝑎
7
𝑏
10
+
32𝑎
8
𝑏
9
+
200𝑎
9
𝑏
8
+
+
50𝑎
11
𝑏
6
)
𝑐
-17
+
+
(
9𝑎
2
𝑏
17
+
280𝑎
5
𝑏
14
+
735𝑎
7
𝑏
12
+
192𝑎
8
𝑏
11
+
+
780𝑎
9
𝑏
10
+
144𝑎
10
𝑏
9
+
375𝑎
11
𝑏
8
+
72𝑎
13
𝑏
6
)
𝑐
-19
+…
(22)
𝑞
1
=
𝑎
2
𝑐
-2
+
4𝑎
5
𝑏
3
𝑐
-8
+
+
(
6𝑎
7
𝑏
3
+
9𝑎
5
𝑏
5
)
𝑐
-10
+
+
(
8𝑎
9
𝑏
3
+
18𝑎
7
𝑏
5
+
16𝑎
5
𝑏
7
)
𝑐
-12
+
+
(
10𝑎
11
𝑏
3
+
30𝑎
9
𝑏
5
+
16𝑎
8
𝑏
6
+
40𝑎
7
𝑏
7
+
25𝑎
5
𝑏
9
)
𝑐
-14
+
+
(
12𝑎
13
𝑏
3
+
45𝑎
11
𝑏
5
+
60𝑎
10
𝑏
6
+
80𝑎
9
𝑏
7
+
72𝑎
8
𝑏
8
+
+
75𝑎
7
𝑏
9
+
36𝑎
5
𝑏
11
)
𝑐
-16
+
+
(
14𝑎
15
𝑏
3
+
63𝑎
13
𝑏
5
+
150𝑎
12
𝑏
6
+
140𝑎
11
𝑏
7
+
+
342𝑎
10
𝑏
8
+
175𝑎
9
𝑏
9
+
209𝑎
8
𝑏
10
+
126𝑎
7
𝑏
11
+
+
49𝑎
5
𝑏
13
)
𝑐
-18
+
+
(
16𝑎
17
𝑏
3
+
84𝑎
15
𝑏
5
+
308𝑎
14
𝑏
6
+
224𝑎
13
𝑏
7
+
+
1050𝑎
12
𝑏
8
+
414𝑎
11
𝑏
9
+
1222𝑎
10
𝑏
10
+
336𝑎
9
𝑏
11
+
+
488𝑎
8
𝑏
12
+
196𝑎
7
𝑏
13
+
64𝑎
5
𝑏
15
)
𝑐
-20
+…
(23)
𝑝
2
=
3𝑎
3
𝑏
3
𝑐
-6
+
6𝑎
3
𝑏
5
𝑐
-8
+
10𝑎
3
𝑏
7
𝑐
-10
+
+
(
12𝑎
6
𝑏
6
+
15𝑎
3
𝑏
9
)
𝑐
-12
+
+
(
27𝑎
8
𝑏
6
+
54𝑎
6
𝑏
8
+
21𝑎
3
𝑏
11
)
𝑐
-14
+
+
(
48𝑎
10
𝑏
6
+
162𝑎
8
𝑏
8
+
158𝑎
6
𝑏
10
+
28𝑎
3
𝑏
13
)
𝑐
-16
+
+
(
75𝑎
12
𝑏
6
+
360𝑎
10
𝑏
8
+
48𝑎
9
𝑏
9
+
606𝑎
8
𝑏
10
+
+
372𝑎
6
𝑏
12
+
36𝑎
3
𝑏
15
)
𝑐
-18
+…
(24)
𝑞
2
=
𝑎
3
𝑐
-3
+
6𝑎
6
𝑏
3
𝑐
-9
+
+
(
9𝑎
8
𝑏
3
+
18𝑎
6
𝑏
5
)
𝑐
-11
+
+
(
12𝑎
10
𝑏
3
+
36𝑎
8
𝑏
5
+
40𝑎
6
𝑏
7
)
𝑐
-13
+
+
(
15𝑎
12
𝑏
3
+
60𝑎
10
𝑏
5
+
24𝑎
9
𝑏
6
+
100𝑎
8
𝑏
7
+
+
75𝑎
6
𝑏
9
)
𝑐
-15
+
+
(
18𝑎
14
𝑏
3
+
90𝑎
12
𝑏
5
+
90𝑎
11
𝑏
6
+
200𝑎
10
𝑏
7
+
+
126𝑎
9
𝑏
8
+
225𝑎
8
𝑏
9
+
126𝑎
6
𝑏
11
)
𝑐
-17
+
+
(
21𝑎
16
𝑏
3
+
126𝑎
14
𝑏
5
+
225𝑎
13
𝑏
6
+
350𝑎
12
𝑏
7
+
+
594𝑎
11
𝑏
8
+
525𝑎
10
𝑏
9
+
418𝑎
9
𝑏
10
+
441𝑎
8
𝑏
11
+
+
196𝑎
6
𝑏
13
)
𝑐
-19
+…
(25)
𝑝
3
=
4𝑎
4
𝑏
3
𝑐
-7
+
10𝑎
4
𝑏
5
𝑐
-9
+
20𝑎
4
𝑏
7
𝑐
-11
+
+
(
16𝑎
7
𝑏
6
+
35𝑎
4
𝑏
9
)
𝑐
-13
+
+
(
36𝑎
9
𝑏
6
+
84𝑎
7
𝑏
8
+
56𝑎
4
𝑏
11
)
𝑐
-15
+
+
(
64𝑎
11
𝑏
6
+
252𝑎
9
𝑏
8
+
282𝑎
7
𝑏
10
+
84𝑎
4
𝑏
13
)
𝑐
-17
+…
(26)
𝑞
3
=
𝑎
4
𝑐
-4
+
8𝑎
7
𝑏
3
𝑐
-10
+
+
(
12𝑎
9
𝑏
3
+
30𝑎
7
𝑏
5
)
𝑐
-12
+
+
(
16𝑎
11
𝑏
3
+
60𝑎
9
𝑏
5
+
80𝑎
7
𝑏
7
)
𝑐
-14
+
+
(
20𝑎
13
𝑏
3
+
100𝑎
11
𝑏
5
+
32𝑎
10
𝑏
6
+
200𝑎
9
𝑏
7
+
+
175𝑎
7
𝑏
9
)
𝑐
-16
+
+
(
24𝑎
15
𝑏
3
+
150𝑎
13
𝑏
5
+
120𝑎
12
𝑏
6
+
400𝑎
11
𝑏
7
+
+
192𝑎
10
𝑏
8
+
525𝑎
9
𝑏
9
+
336𝑎
7
𝑏
11
)
𝑐
-18
+…
(27)
𝑝
4
=
5𝑎
5
𝑏
3
𝑐
-8
+
15𝑎
5
𝑏
5
𝑐
-10
+
35𝑎
5
𝑏
7
𝑐
-12
+
+
(
20𝑎
8
𝑏
6
+
70𝑎
5
𝑏
9
)
𝑐
-14
+
+
(
45𝑎
Похожие книги
- Мистика
- Историческое фэнтези
- Ироническая фантастика
- Альтернативная история
- Технофэнтези
- Постапокалипсис
- Киберпанк
- Детективная фантастика
- Стимпанк
- Героическая фантастика
- Научная Фантастика
- Эпическая фантастика
- Ненаучная фантастика
- Сказочная фантастика
- Космоопера
- Юмористическое фэнтези
- Ироническое фэнтези
- Ужасы и мистика
- Юмористическая фантастика
- Социально-философская фантастика
- Космическая фантастика
- Городское фэнтези
- Боевая фантастика
- ЛитРПГ
- Фантастика
- Современная сказка
- Социально-психологическая фантастика
- Хроноопера
- Ужасы
- Мифологическое фэнтези
- Фэнтези
- Фантастика: прочее
- РеалРПГ
- Славянское фэнтези
- Бояръ-Аниме
- Попаданцы
- Шпионский детектив
- Прочие Детективы
- Маньяки
- Полицейские детективы
- Исторический детектив
- Шпионские детективы
- Классические детективы
- Триллеры
- Криминальные детективы
- Иронические детективы
- Криминальный детектив
- Крутой детектив
- Детективы
- Триллер
- Иронический детектив, дамский детективный роман
- Советский детектив
- Классический детектив
- Политический детектив
- Боевик
- Про маньяков
- Медицинский триллер
- Дамский детективный роман
- Техно триллер
- Юридический триллер
- Боевики
- Исторические детективы
- Политические детективы
- Поэзия
- в стихах
- Эпическая поэзия
- Басни
- Песенная поэзия
- Лирика
- Визуальная и экспериментальная поэзия, верлибры, палиндромы
- Поэма, эпическая поэзия
- Классическая зарубежная поэзия
- Классическая русская поэзия
- Поэзия Востока
- Современная поэзия
- Классическая поэзия
- Современная зарубежная поэзия
- Современная русская поэзия
- Юмористические стихи, басни
- Верлибры
- Палиндромы
- Экспериментальная поэзия
- Визуальная поэзия
- Историческая фантастика
- Историческая литература
- Политика
- Геология и география
- Ветеринария
- Экология
- Государство и право
- Астрономия и Космос
- Математика
- Шпаргалки
- Биохимия
- Обществознание
- Педагогика
- Психология
- Учебники
- Иностранные языки
- Детская психология
- Биофизика
- Прочая научная литература
- Языкознание
- Биология
- Психотерапия и консультирование
- Юриспруденция
- Военная история
- Альтернативная медицина
- Философия
- Медицина
- Зоология
- Физика
- Литературоведение
- Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература
- Языкознание, иностранные языки
- Биология, биофизика, биохимия
- Обществознание, социология
- Психология и психотерапия
- Востоковедение
- Химия
- История
- Ботаника
- Экономика
- Альтернативные науки и научные теории
- Научная литература
- Рефераты
- Секс и семейная психология
- Книги о войне
- Популярно об истории
- Книги о путешествиях
- Книги по психологии
- Религия и духовная литература
- Детская познавательная и развивающая литература
- Детская образовательная литература
- Книги для дошкольников
- Прочая детская литература
- Детские приключения
- Детская проза
- Детские стихи
- Детские остросюжетные
- Детская фантастика
- Книга-игра
- Буквари
- Фантастика для детей
- Детская литература
- Проза для детей
- Внеклассное чтение
- Игры, упражнения для детей
- Классическая детская литература
- Стихи для детей
- Русские сказки
- Зарубежная литература для детей
- Сказки народов мира
- Зарубежные детские книги
- Сказки
- Детские детективы
- Школьные учебники
- Учебная литература
- Книги для подростков
- Экономика
- Поиск работы, карьера
- Отраслевые издания
- Недвижимость
- Корпоративная культура
- Делопроизводство
- Внешнеэкономическая деятельность
- Бухучет и аудит
- Торговля
- Малый бизнес
- Личные финансы
- Государственное и муниципальное управление
- Краткое содержание
- Ораторское искусство / риторика
- Работа с клиентами
- Стартапы и создание бизнеса
- Маркетинг, PR, реклама
- Карьера, кадры
- Маркетинг, PR
- Финансы
- Личная эффективность
- О бизнесе популярно
- Интернет-бизнес
- Банковское дело
- Менеджмент
- Менеджмент и кадры
- Тайм-менеджмент
- Ценные бумаги, инвестиции
- Кадровый менеджмент
- Политическое управление
- Управление, подбор персонала
- Зарубежная деловая литература
- Деловая литература
- Педагогика, воспитание детей, литература для родителей
- Медицина и здоровье
- Семейные отношения, секс
- Семейные отношения
- Рыбалка
- Отдых / туризм
- Автомобили и ПДД
- Сделай сам
- Прочее домоводство
- Спорт
- Здоровье и красота
- Охота
- Домашние животные
- Коллекционирование
- Хобби и ремесла
- Кулинария
- Развлечения
- Сад и огород
- Боевые искусства, спорт
- Домоводство
- Здоровье
- Эротика и секс
- Домашнее хозяйство
- Интерьеры
- Хобби / увлечения
- Мода и стиль
- Красота
- Секс / секс-руководства
- Йога
- Изобразительное искусство
- Рукоделие и ремесла
- Спорт / фитнес
- Прикладная литература
- Компьютерное «железо»
- Базы данных
- ОС и Сети
- Интернет
- Программное обеспечение
- Программирование
- Прочая компьютерная литература
- Учебные пособия, самоучители
- ОС и Сети, интернет
- Программирование, программы, базы данных
- Компьютерное 'железо' (аппаратное обеспечение), цифровая обработка сигналов
- Зарубежная компьютерная, околокомпьютерная литература
- Цифровая обработка сигналов
- Средневековая классическая проза
- Современная проза
- Классическая проза
- Готический роман
- Антисоветская литература
- Военная проза
- Проза прочее
- Роман
- Повесть
- Новелла
- Сентиментальная проза
- Рассказ
- Историческая проза
- Контркультура
- Эпистолярная проза
- Русская классическая проза
- Советская классическая проза
- Магический реализм
- Проза
- Зарубежная классическая проза
- Классическая проза ХX века
- Классическая проза ХIX века
- Роман, повесть
- Фантасмагория, абсурдистская проза
- Афоризмы, цитаты
- Экспериментальная, неформатная проза
- Проза о войне
- Современная русская и зарубежная проза
- Классическая проза XVII-XVIII веков
- Афоризмы
- Эпопея
- Феерия
- Семейный роман/Семейная сага
- Эссе, очерк, этюд, набросок
- Малые литературные формы прозы: рассказы, эссе, новеллы, феерия
- Зарубежные приключения
- Современная зарубежная литература
- Зарубежная драматургия
- Зарубежная фантастика
- Зарубежный юмор
- Зарубежная религиозная литература
- Зарубежная образовательная литература
- Зарубежная публицистика
- Зарубежная психология
- Зарубежные любовные романы
- Зарубежная поэзия
- Зарубежная классика
- Зарубежная старинная литература
- Зарубежная компьютерная литература
- Зарубежная литература о культуре и искусстве
- Зарубежные детективы
- Зарубежная прикладная литература
- Зарубежное фэнтези
- Зарубежная справочная литература