Трактат об электричестве и магнетизме

Положив постоянным β, мы получаем уравнение однополостного гиперболоида. Поэтому две поверхности, образующие границы электрического поля, должны принадлежать двум различным гиперболоидам. В остальном исследование проводится так же, как и для двухполостного гиперболоида. Точно так же при заданной разности потенциалов плотность заряда в произвольной точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости, а полный заряд на бесконечной поверхности бесконечен.

Предельные формы

1. При β=0 поверхность является частью плоскости 𝑥𝑧, заключённой между двумя ветвями гиперболы, уравнение которой (24) написано выше.

2. При β=-𝐹(𝑘') поверхность является частью плоскости 𝑥𝑦, находящейся вне фокального эллипса, уравнение которого

𝑥²

𝑎²

-

𝑦²

𝑐²-𝑏²

=

1.

(25)

Эллипсоиды

Для каждого заданного эллипсоида γ постоянно. Если два эллипсоида γ₁ и γ₂ поддерживаются при потенциалах 𝑉₁ и 𝑉₂ то для произвольной точки γ между ними

𝑉

=

γ₁𝑉₂-γ₂𝑉₁+γ(𝑉₁-𝑉₂)

γ₁-γ₂

.

(26)

Поверхностная плотность заряда в произвольной точке равна

σ

=

-

1

4π

𝑉₁-𝑉₂

γ₁-γ₂

𝑐𝑝₂

𝑃₃

,

(27)

где 𝑝₂ - перпендикуляр из центра к касательной плоскости, а 𝑃₂ - произведение полуосей.

Полный электрический заряд на каждой поверхности даётся соотношением

𝑄

₂

=

𝑐

𝑉₁-𝑉₂

γ₁-γ₂

=

-

𝑄

₁

(28)

и конечен.

При γ=𝐹(𝑘) поверхность эллипсоида уходит в бесконечность по всем направлениям.

Если положить 𝑉₂=0, a γ₂=𝐹(𝑘), мы получим для электрического заряда на эллипсоиде γ находящемся под потенциалом 𝑉 в безгранично простирающемся поле, выражение

𝑄

=

𝑐

𝑉

𝐹(𝑘)-γ

.

(29)

Предельная форма для эллипсоидов получается при γ=0 когда поверхность превращается в часть плоскости 𝑥𝑦 внутри фокального эллипса, уравнение которого (25) написано выше.

Поверхностная плотность заряда по обе стороны эллиптической пластинки с уравнением (25) и эксцентриситетом 𝑘 равна

σ

=

𝑉

⋅

1

⋅

1

,

4π√

𝑐²-𝑏²

𝐹(𝑘)

⎛

⎝

1

-

𝑥²

𝑐²

-

𝑦²

𝑐²-𝑏²

⎞

⎠

½

(30)

а заряд её равен

𝑄

=

𝑐

𝑉

𝐹(𝑘)

.

(31)

Частные случаи

151. Если 𝑐 остаётся конечным, в то время как 𝑏 а следовательно, и 𝑘 неограниченно уменьшаются, принимая в конце концов нулевое значение, система поверхностей преобразуется следующим образом:

Действительная ось и одна из мнимых осей каждого двухполостного гиперболоида неограниченно уменьшаются, а сама поверхность в конце концов переходит в две плоскости, пересекающиеся по оси 𝑧.

Величина а совпадает с θ, и уравнение системы меридиональных плоскостей, к которым свелись гиперболоиды, имеет вид

𝑥²

(sin α)²

-

𝑦²

(cos α)²

=

0.

(32)

Что касается величины β, то определение (7) в п. 147 привело бы нас к бесконечному значению интеграла на нижнем пределе. Чтобы избежать этого, определим β в этом частном случае интегралом

𝑐

∫

λ₂

𝑐𝑑λ₂

λ₂ √𝑐²-λ₂²

.

Положив теперь λ₂=𝑐 sin φ, получим для β

π/2

∫

φ

𝑑φ

sin φ

, т.е. ln ctg

φ

2

,

откуда

cos φ

=

𝑒^β-𝑒^-β

𝑒^β+𝑒^-β

,

(33)

и, следовательно,

sin φ

=

2

𝑒^β+𝑒^-β

.

(34)

Если мы назовём экспоненциальную функцию (𝑒^β+𝑒^-β)/2 гиперболическим косинусом или, короче, гипокосинусом β и обозначим через ch β, а функцию (𝑒^β-𝑒^-β)/2 назовём гипосинусом β и обозначим sh β и введём таким же образом функции, аналогичные другим простым тригонометрическим функциям, то получим, что λ₂=𝑐 sch β, а уравнение для системы однополостных гиперболоидов имеет вид

𝑥²+𝑦²

(sch β)²

-

𝑧²

(th β)²

=

𝑐².

(35)

Величина γ сводится к ψ, так что λ₃=𝑐 sec γ и уравнение для системы эллипсоидов имеет вид

𝑥²+𝑦²

(sec γ)²

-

𝑧²

(tg γ)²

=

𝑐².

(36)

Такого рода эллипсоиды представляют собою тела вращения относительно своих сопряжённых осей и называются планетарными эллипсоидами.

Количество электричества на планетарном эллипсоиде, находящемся под потенциалом 𝑉 в безграничном поле, равно

𝑄

=

𝑐

𝑉

½π-γ

,

(37)

где 𝑐 sec γ - экваториальный радиус, а 𝑐 tg γ - полярный радиус.

При γ=0 фигура становится круговым диском радиуса 𝑐 и

σ

=

𝑉

2π² √𝑐²-𝑟²

,

(38)

𝑄

=

𝑐

𝑉

½π

,

(39)

152.Второй случай. Пусть 𝑏=𝑐, тогда 𝑘=1, 𝑘'=0,

α

=

ln tg

π+2θ

4

, откуда

λ

₁

=

𝑐 th α

,

(40)

и уравнение двухполостных гиперболоидов вращения принимает вид

𝑥²

(th α)²

-

𝑦²+𝑧²

(sch α)²

=

𝑐²

.

(41)

Величина β переходит в φ, а каждый однополостный гиперболоид сводится к паре плоскостей, пересекающихся по оси 𝑥, уравнение которых

𝑦²

(sin β)²

-

𝑧²

(cos β)²

=

0.

(42)

Это система меридиональных плоскостей, для которых β служит координатой долготы.

Величина γ, определяемая формулой (7) (п. 147), становится в этом случае бесконечной на нижнем пределе. Чтоб избежать этого, определим γ интегралом

∞

∫

λ₃

𝑐𝑑λ₃

λ₃²-𝑐²

.

Положив теперь λ₃=𝑐 sec ψ, получим

γ

=

π/2

∫

ψ

𝑑ψ

sin ψ

,

откуда λ₃=𝑐 sec ψ и уравнение семейства эллипсоидов принимает вид

𝑥²

(cth α)²

-

𝑦²+𝑧²

(ssh α)²

=

𝑐²

.

(43)

Эти эллипсоиды вращения, для которых осью вращения является поперечная ось, называются яйцеобразными эллипсоидами.

Количество электричества на яйцеобразном эллипсоиде, находящемся под потенциалом 𝑉 в безграничном поле, равно в этом случае, согласно (29),

𝑐𝑉

⎛

⎜

⎝

π/2

∫

ψ₀

𝑐ψ

sin ψ

⎞-1

⎟

⎠

,

(44)

где 𝑐 sec ψ₀ - полярный радиус.

Если обозначить полярный радиус через 𝐴, а экваториальный - через 𝐵, последняя формула запишется в виде

𝑉

=

√

𝐴²-𝐵²

.

ln

𝐴+√

𝐴²-𝐵²

𝐵

(45)