Трактат об электричестве и магнетизме

Гармоники с двумя штрихами отличаются от гармоник входящих как в 𝐹, так и в 𝑈, а коэффициенты 𝐶 малы, поскольку 𝐹 мало.

Потенциалы должны удовлетворять условию, что при 𝑟=𝑎(1+𝐹) сумма

𝑈+𝑉+𝑊

=

const

=

𝐴₀

𝑎

+

𝐵

₀

равна потенциалу проводника.

Выражая степени 𝑟 через 𝑎 и 𝐹, сохраняя первую степень 𝐹, умноженную на 𝐴 или 𝐵, и пренебрегая произведениями 𝐹, на малые величины 𝐶, получим

𝐹

⎡

⎢

⎣

-𝐴

₀

1

𝑎

+

3𝐵

₁

𝑎𝑌'

₁

+

5𝐵

₂

𝑎

²

𝑌'

₂

+…+

(2𝑑+1)

𝐵

_𝑛

𝑎

^𝑛

𝑌'

_𝑛

+…

⎤

⎥

⎦

+

+

𝐶

₁

1

𝑟²

𝑌''

₂

+…+

𝐶

_𝑚

1

𝑟^𝑚+1

𝑌''

_𝑚

+…

=

0.

(15)

Чтобы найти коэффициенты 𝐶 нужно выполнить умножение в первой строчке и выразить результат через сферические гармоники. Тогда этот ряд, взятый с обратным знаком, и будем рядом для 𝑊 на поверхности проводника.

Произведение двух поверхностных сферических гармоник порядка 𝑛 и 𝑚 является рациональной функцией степени 𝑛+𝑚 по 𝑥/𝑟, 𝑦/𝑟, 𝑧/𝑟 и, следовательно, может быть разложено в ряд по сферическим гармоникам степени не выше 𝑛+𝑚. Поэтому, если 𝐹 может быть разложено по сферическим гармоникам степени не выше 𝑚, а потенциал внешних сил может быть разложен по сферическим гармоникам степени не выше 𝑛, то потенциал, создаваемый поверхностными зарядами, будет содержать сферические гармоники степени не выше 𝑚+𝑛.

Соответствующая поверхностная плотность заряда может быть затем найдена по потенциалу из приближённого равенства

4πσ

+

𝑑

𝑑𝑟

(𝑈+𝑉+𝑊)

=

0.

(16)

145 в.Почти сферический проводник в почти сферическом и почти концентрическом проводящем сосуде.

Пусть уравнение поверхности проводника

𝑟

=

𝑎(1+𝐹)

,

(17)

где

𝐹

=

ƒ

₁

𝑌

₁

+…+

ƒ

(σ)

𝑛

𝑌

(σ)

𝑛

,

(18)

а уравнение внутренней поверхности сосуда

𝑟

=

𝑏(1+𝐺)

,

(19)

где

𝐺

=

𝑔

₁

𝑌

₁

+

𝑔

(σ)

𝑛

𝑌

(σ)

𝑛

.

(20)

Здесь коэффициенты ƒ и 𝑔 малы по сравнению с единицей, а 𝑌^(σ)_𝑛 - поверхностные гармоники порядка 𝑛 типа σ.

Пусть потенциал проводника равен α, а потенциал сосуда β. Представим потенциал в произвольной точке между проводником и сосудом в виде разложения по сферическим гармоникам

Ψ

=

𝘩

₁

+

𝘩

₁

𝑌

₁

𝑟

+…+

𝘩

(σ)

𝑛

𝑌

(σ)

𝑛

𝑟

𝑛

+…+

+

𝑘

₀

1

𝑟

+

𝑘

₁

𝑌

₁

1

𝑟²

+…+

𝑘

(σ)

𝑛

𝑌

(σ)

𝑛

1

𝑟^𝑛+1

+…

.

(21)

Нужно определить постоянные 𝘩 и 𝑘 из условия, что Ψ=α при 𝑟=𝑎(1+𝐹) и Ψ=β при 𝑟=𝑏(1+𝐺).

Из предыдущего рассмотрения ясно, что все коэффициенты 𝘩 и 𝑘 кроме 𝘩₀ и 𝑘₀, малы, так что их произведениями на 𝐹 можно пренебречь. Поэтому можно написать

α

=

𝘩

₀

+

𝑘

₀

1

𝑎

(1-𝐹)

+…+

⎛

⎜

⎝

𝘩

(σ)

𝑛

𝑎

𝑛

+

𝑘

(σ)

𝑛

1

𝑎^𝑛+1

⎞

⎟

⎠

𝑌

(σ)

𝑛

+…

,

(22)

β

=

𝘩

₀

+

𝑘

₀

1

𝑏

(1-𝐺)

+…+

⎛

⎜

⎝

𝘩

(σ)

𝑛

𝑏

𝑛

+

𝑘

(σ)

𝑛

1

𝑏^𝑛+1

⎞

⎟

⎠

𝑌

(σ)

𝑛

+…

.

(23)

Отсюда следует

α

=

𝘩

₀

+

𝑘

₀

1

𝑎

,

(24)

β

=

𝘩

₀

+

𝑘

₀

1

𝑏

,

(25)

𝑘

₀

1

𝑎

ƒ

(σ)

𝑛

=

𝘩

(σ)

𝑛

𝑎

𝑛

+

𝑘

(σ)

𝑛

1

𝑎^𝑛+1

,

(26)

𝑘

₀

1

𝑏

𝑔

(σ)

𝑛

=

𝘩

(σ)

𝑛

𝑏

𝑛

+

𝑘

(σ)

𝑛

1

𝑏^𝑛+1

,

(27)

откуда получаем заряд внутреннего проводника

𝑘

₀

=

(α-β)

𝑎𝑏

𝑏-𝑎

(28)

и значения коэффициентов гармоник порядка 𝑛

𝘩

(σ)

𝑛

=

𝑘

₀

𝑏

𝑛

  𝑔

(σ)

𝑛 - 𝑎

𝑛

  ƒ

(σ)

𝑛

𝑏^2𝑛+1-𝑎^2𝑛+1

,

(29)

𝑘

(σ)

𝑛

=

𝑘

₀

𝑎

^𝑛

𝑏

^𝑛

𝑏

𝑛+1

  ƒ

(σ)

𝑛 - 𝑎

𝑛+1

  𝑔

(σ)

𝑛

𝑏^2𝑛+1-𝑎^2𝑛+1

,

(30)

Следует при этом помнить, что коэффициенты ƒ^(σ)_𝑛, 𝑔^(σ)_𝑛, 𝘩^(σ)_𝑛, 𝑘^(σ)_𝑛 относятся к одному и тому же порядку и к одному и тому же типу.

Поверхностная плотность заряда на внутреннем проводнике даётся соотношением

4πσ𝑎

²

=

𝑘

₀

(1

+…+

𝐴

𝑛

𝑌

(σ)

𝑛

+…)

,

где

𝐴

_𝑛

=

ƒ

(σ)

𝑛 { (𝑛+2) 𝑎^2𝑛+1 + (𝑛-1) 𝑏^2𝑛+1 } - 𝑔

(σ)

𝑛 (2𝑛+1) 𝑎^𝑛+1 𝑏^𝑛

𝑏^2𝑛+1-𝑎^2𝑛+1

(31)

146. В качестве примера применения зональных гармоник рассмотрим равновесие электричества на двух сферических проводниках.

Пусть 𝑎 и 𝑏 - радиусы сфер, а 𝑐 - расстояние между их центрами. Для кратности мы положим 𝑎=𝑐𝑥, 𝑏=𝑐𝑦 так что 𝑥 и 𝑦 - числа, меньшие единицы.

Примем прямую, соединяющую центры сфер, за ось зональных гармоник, и пусть полюсом зональных гармоник, относящихся к каждой сфере, служит точка этой сферы, наиболее близкая к другой сфере.

Обозначим через 𝑟 расстояние произвольной точки до центра первой сферы, а через 𝑠 - расстояние той же точки от центра второй сферы.

Пусть поверхностная плотность заряда σ₁ для первой сферы даётся выражением

4πσ

₁

𝑎

²

=

𝐴

+

𝐴

₁

𝑃

₁

+

3𝐴

₂

𝑃

₂

+…+

(2𝑚+1)

𝐴

_𝑚

𝑃

_𝑚

,

(1)

так что 𝐴 - полный заряд сферы, а 𝐴₁ и т. д.- коэффициенты зональных гармоник 𝑃₁ и т. д.

Потенциал такого распределения заряда можно представить в виде

𝑈'

=

1

𝑎

⎡

⎢

⎣

𝐴

+

𝐴

₁

𝑃

₁

𝑟

𝑎

+

𝐴

₂

𝑃

₂

𝑟²

𝑎²

+…+

𝐴

_𝑚

𝑃

_𝑚

𝑟_𝑚

𝑎_𝑚

⎤

⎥

⎦

(2)

для точек внутри сферы и

𝑈

=

1

𝑟

⎡

⎢

⎣

𝐴

+

𝐴

₁

𝑃

₁

𝑎

𝑟

+

𝐴

₂

𝑃

₂

𝑎²

𝑟²

+…+

𝐴

_𝑚

𝑃

_𝑚

𝑎_𝑚

𝑟_𝑚

⎤

⎥

⎦

(3)

для точек вне сферы.

Подобным образом, если поверхностная плотность заряда на второй сфере даётся выражением

4πσ

₂

𝑏

²

=

𝐵

+

𝐵

₁

𝑃

₁

+…+

(2𝑛+1)

𝐵

_𝑛

𝑃

_𝑛

,

(4)

то обусловленный ею потенциал вне и внутри этой сферы представляется в виде

𝑉'

=

1

𝑏

⎡

⎢

⎣

𝐵

+

𝐵

₁

𝑃

₁

𝑠

𝑏

+…+

𝐵

_𝑛

𝑃

_𝑛

𝑠^𝑛

𝑏^𝑛

⎤

⎥

⎦

,

(5)

𝑉

=

1

𝑠

⎡

⎢

⎣

𝐵

+

𝐵

₁

𝑃

₁

𝑏

𝑠

+…+

𝐵

_𝑛

𝑃

_𝑛

𝑏^𝑛

𝑠^𝑛

⎤

⎥

⎦

,

(6)

где все гармоники относятся ко второй сфере.

Заряды на сферах равны соответственно 𝐴 и 𝐵.

Потенциал в каждой точке внутри первой сферы постоянен и равен потенциалу этой сферы α так что внутри сферы

𝑈'+𝑉

=

α.

(7)

Точно так же, если потенциал второй сферы равен β то для точек внутри этой сферы

𝑈+𝑉'

=

β.

(8)

Для точек вне обеих сфер потенциал равен Ψ, где

𝑈+𝑉

=

Ψ.

(9)

На оси между центрами сфер

𝑟+𝑠

=

𝑐.

(10)