Трактат об электричестве и магнетизме

Для чётных σ можно доказать, что операция дифференцирования может быть записана в виде

(-1)

^(σ+2)/2

⎧

⎨

⎩

cos σα⋅𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑑σ

𝑑ξσ

-

𝑑σ

𝑑ησ

⎞

⎟

⎠

-

sin σα

⎛

⎜

⎝

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.

(59)

Таким образом, если положить

𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑑σ

𝑑ξσ

-

𝑑σ

𝑑ησ

⎞

⎟

⎠

=

𝐷

(σ)

𝑆

,

𝑑σ

𝑑ξσ

+

𝑑σ

𝑑ησ

=

𝐷

(σ)

𝐶

,

то операции дифференцирования по осям σ можно выразить через

𝐷

(σ)

𝑆

,

𝐷

(σ)

𝐶

.

В действительности это, конечно, вещественные операции, которые могут быть выражены и без комплексных обозначений. Так,

2

^σ-1

𝐷

(σ)

𝑆

=

σ

𝑑^σ-1

𝑑𝑥^σ-1

𝑑

𝑑𝑦

-

σ(σ-1)(σ-2)

1⋅2⋅3

𝑑^σ-3

𝑑𝑥^σ-3

𝑑³

𝑑𝑦³

+…

,

(60)

2

^σ-1

𝐷

(σ)

𝐶

=

𝑑^σ

𝑑𝑥^σ

-

σ(σ-1)

1⋅2

𝑑^σ-2

𝑑𝑥^σ-2

𝑑²

𝑑𝑦²

+…

.

(61)

Мы будем также писать

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

𝐷

(σ)

𝑆

=

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

 и

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

𝐷

(σ)

𝐶

=

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

,

(62)

так что

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

 и

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

обозначают операции дифференцирования по 𝑛 осям, из которых 𝑛-σ совпадают с осью 𝑧, а остальные σ расположены под равными углами друг к другу в плоскости 𝑥𝑦, причём обозначение

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

применяется, если ось 𝑦 совпадает с одной из этих осей, а

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

- когда ось 𝑦 делит пополам угол между осями.

Обе тессеральные поверхностные гармоники порядка 𝑛 типа σ можно теперь представить в виде

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

(-1)

^𝑛

1

𝑛!

𝑟

^𝑛+1

𝐷

(σ)

𝑆

𝑛

,

(63)

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

(-1)

^𝑛

1

𝑛!

𝑟

^𝑛+1

𝐷

(σ)

𝐶

𝑛

,

(64)

Положив μ=cos θ, ν=sin θ, ρ²=𝑥²+𝑦², 𝑟=ξη+𝑧², так что 𝑧=μ𝑟, ρ=ν𝑟, 𝑥=ρ cosφ, 𝑦=ρ sinφ, получим

𝐷

(σ)

𝑆

1

𝑟

=

(-1)

^σ

(2σ)!

2^2σσ!

𝑖(η

^σ

-ξ

^σ

)

1

𝑟^2σ+1

,

(65)

𝐷

(σ)

𝐶

1

𝑟

=

(-1)

^σ

(2σ)!

2^2σσ!

(ξ

^σ

+η

^σ

)

1

𝑟^2σ+1

,

(66)

где можно положить

𝑖

2

(η

^σ

-ξ

^σ

)

=

ρ

^σ

sin σψ

,

1

2

(ξ

^σ

+η

^σ

)

=

ρ

^σ

cos σψ

.

(67)

Остаётся лишь продифференцировать по 𝑧 что мы и проделаем, выразив результат либо через 𝑟 и 𝑧, либо как однородную функцию от 𝑧 и ρ, делённую на некоторую степень 𝑟:

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

1

𝑟^2σ+1

=

(-1)

^𝑛-σ

(2𝑛)!

2^𝑛𝑛!

2^σσ!

(2σ)!

1

𝑟^2𝑛+1

×

×

⎡

⎢

⎣

𝑧

^𝑛-σ

-

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

𝑧

^𝑛-σ-2

𝑟

²

⎤

⎥

⎦

(68)

или

𝑑^𝑛-σ

𝑑𝑧^𝑛-σ

1

𝑟^2σ+1

=

(-1)

^𝑛-σ

(𝑛+σ)

(2σ)!

1

𝑟^2𝑛+1

×

×

⎡

⎢

⎣

𝑧

^𝑛-σ

-

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

𝑧

^𝑛-σ-2

ρ

²

⎤

⎥

⎦

.

(69)

Если ввести

Θ

(σ)

𝑛

=

ν

^σ

⎡

⎢

⎣

μ

^𝑛-σ

-

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

2(2𝑛-1)

μ

^𝑛-σ-2

+

+

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)(𝑛-σ-2)(𝑛-σ-3)

2⋅4⋅(2𝑛-1)(2𝑛-3)

μ

^𝑛-σ-4

-…

⎤

⎥

⎦

(70)

и

Θ

(σ)

𝑛

=

ν

^σ

⎡

⎢

⎣

μ

^𝑛-σ

-

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)

4(σ+1)

μ

^𝑛-σ-2

ν

²

+

+

(𝑛-σ)(𝑛-σ-1)(𝑛-σ-2)(𝑛-σ-3)

4⋅8⋅(σ+1)(σ+2)

μ

^𝑛-σ-4

ν

⁴

-…

⎤

⎥

⎦

,

(71)

то

Θ

(σ)

𝑛

=

2^𝑛-σ𝑛!(𝑛+σ)!

(2𝑛)!σ!

Θ

(σ)

𝑛

,

(72)

так что обе эти функции отличаются лишь постоянным множителем.

Теперь мы можем выразить обе тессеральные гармоники порядка 𝑛 типа σ через Θ или Θ:

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

(2𝑛)!

2^𝑛+σ𝑛!𝑛!

Θ

(σ)

𝑛

2sin σφ

=

(𝑛+σ)!

2^2σ𝑛!σ!

Θ

(σ)

𝑛

2sin σφ

,

(73)

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

(2𝑛)!

2^𝑛+σ𝑛!𝑛!

Θ

(σ)

𝑛

2cos σφ

=

(𝑛+σ)!

2^2σ𝑛!σ!

Θ

(σ)

𝑛

2cos σφ

.

(74)

Следует учесть, что если σ=0 то sin σφ=0, а cos σφ=1.

Для каждого значения σ от 1 до 𝑛 включительно имеются две гармоники, но при σ=0

𝑌

(σ)

𝑆

𝑛

=

0, а

𝑌

(σ)

𝐶

𝑛

=

𝑃

_𝑛

- зональная гармоника. Таким образом, полное число гармоник порядка 𝑛 равно 2𝑛+1, как и должно быть.

140 б. Численное значение 𝑌 принятое в этой книге, получается дифференцированием 𝑟^-1 по 𝑛 осям и делением на 𝑛!. Оно представляет собой произведение четырёх множителей - синуса или косинуса от σφ, ν^σ, функции от μ, (или от μ и ν) и численного коэффициента.

Произведение второго и третьего множителя, т. е. зависящая от θ часть, выражается через три различные функции, отличающиеся, однако, лишь численными множителями. Если её представить как произведение ν^σ на ряд по убывающим степеням μ, первый член которого равен μ^𝑛-σ, то получится функция, которую, следуя Томсону и Тэту, мы обозначаем через Θ.

Функция, которую Хайне (Heine) (Handbuch der Kugelfunctionen, § 47) обозначает 𝑃^(𝑛)_σ и называет zugeordnete Function erster Art, или, как переводит Тодхантер, «присоединённая функция первого рода» (associated function of the first kind) связана Θ^(𝑛)_σ соотношением

Θ

(𝑛)

σ

=

-1

^σ/2

𝑃

(𝑛)

σ

.

(75)

Ряд по убывающим степеням μ, начинающийся с μ^𝑛-σ, обозначен Хайне символом 𝔓^(𝑛)_σ а Тодхантером - символом ω̃(σ,𝑛).

Этот ряд можно представить в двух других видах:

𝔓

(𝑛)

σ

=

ω̃(σ,𝑛)

=

(𝑛-σ)!

(2𝑛)!

𝑑^𝑛+σ

𝑑μ^𝑛+σ

(μ²-1)

^𝑛

=

2^𝑛(𝑛-σ)!𝑛!

(2𝑛)!

𝑑^σ

𝑑μ^σ

𝑃

_𝑛

.

(76)

Последнее представление, в котором этот ряд получается дифференцированием зональной гармоники по μ, по-видимому, подсказало мысль о введении обозначения 𝑇^(𝑛)_σ принятого Феррерсом, который определяет его так:

𝑇

(𝑛)

σ

=

𝑑^σ

𝑑μ^σ

𝑃

_𝑛

=

(2𝑛)!

2^𝑛(𝑛-σ)!𝑛!

Θ

(𝑛)

σ

.

(77)

Если эту же величину представить как однородную функцию от μ и ν и поделить на коэффициент перед μ^𝑛-σν^𝑛, получится функция, обозначенная нами через Θ^(𝑛)_σ.

140 в. Гармоники симметричной системы классифицируются Томсоном и Тэтом в зависимости от формы кривых на сфере, на которых они обращаются в нуль.

Значение зональной гармоники в произвольной точке сферы является функцией косинуса расстояния от полюса. Приравнивая значение функции нулю, получим уравнение 𝑛-й степени, все корни которого лежат в промежутке от -1 до +1, и, следовательно, соответствуют 𝑛 широтным параллелям на сфере.

Ограниченные этими параллелями зоны поочерёдно положительны и отрицательны, причём круг, окружающий полюс, всегда положителен.

Таким образом, зональные гармоники пригодны для выражения функции, обращающейся в нуль на определённой параллели на сфере или на какой-либо конической поверхности в пространстве.