Трактат об электричестве и магнетизме

В этом случае все косинусы вида λ_𝑛𝑚 можно записать как μ_𝑛 где μ_𝑛 - косинусы угла между общей осью 𝑃_𝑚 и одной из осей 𝑌_𝑚. Косинусы типа λ_𝑚𝑚 все равны единице, так что вместо

∑

λ

𝑠

𝑚𝑚

нужно подставить число сочетаний без повторения индексов по 𝑠 символов из 𝑛, характеризующихся двумя индексами. Отсюда следует, что

∑

λ

𝑠

𝑚𝑚

=

𝑛!

2^𝑠𝑠!(𝑛-2𝑠)!

.

(47)

Число перестановок оставшихся (𝑛-2𝑠) индексов осей 𝑃_𝑚 равно (𝑛-2𝑠)! Следовательно,

∑

(λ

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

)

=

(𝑛-2𝑠)!

μ

^𝑛-2𝑠

.

(48)

Таким образом, в случае, когда все оси 𝑌_𝑚 совпадают друг с другом, уравнение (46) принимает вид

∬

𝑌

_𝑛

𝑃

_𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

(2𝑛+1)(𝑛!)²

𝑆

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2^𝑛-2𝑠(𝑛-𝑠)!

∑

(

μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑛

)

⎤

⎥

⎦

(49)

=

4π𝑎²

2𝑛+1

𝑌

_𝑛(𝑚)

, согласно (43),

(50)

где 𝑌_𝑛(𝑚) - значение 𝑌_𝑛 в полюсе 𝑃_𝑚.

К этому результату можно прийти и следующим более коротким путём:

Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось 𝑧 совпала с осью 𝑚 и пусть 𝑌_𝑛𝑟^𝑛 представлено как однородная функция 𝑥, 𝑦, 𝑧 степени 𝑛.

В полюсе 𝑃_𝑚 𝑥=𝑦=0, a 𝑧=𝑟 так что если 𝐶𝑧^𝑛 слагаемое, не содержащее 𝑥 и 𝑦, то 𝐶 есть значение 𝑌_𝑛 в полюсе 𝑃_𝑚.

Уравнение (31) принимает в этом случае вид

∬

𝑌

_𝑛

𝑃

_𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

2𝑛+1

1

𝑛!

𝑑^𝑚

𝑑𝑧^𝑚

(𝑌

_𝑛

𝑟

^𝑛

)

.

Поскольку 𝑚 равно 𝑛, то дифференцирование 𝐶𝑧^𝑛 даёт 𝑛!𝐶, а остальные члены дают нуль. Следовательно,

∬

𝑌

_𝑛

𝑃

_𝑚

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

2𝑛+1

𝐶

,

где 𝐶 - значение 𝑌_𝑛 в полюсе 𝑃_𝑚.

135 б. Это очень важный результат теории сферических гармоник, так как он показывает, как найти ряд сферических гармоник, выражающий значение величины, которая принимает произвольно заданные конечные и непрерывные значения во всех точках сферической поверхности.

Действительно, пусть 𝐹 - значение этой величины в точке 𝑄 сферы, a 𝑑𝑠 - элемент её поверхности. Умножим 𝐹𝑑𝑠 на 𝑃_𝑛, зональную гармонику с полюсом в точке 𝑃 на той же сферической поверхности, и проинтегрируем по поверхности. Полученный результат, поскольку он зависит от положения точки 𝑃, можно рассматривать как функцию положения точки 𝑃.

Но так как значение в точке 𝑃 зональной гармоники с полюсом 𝑄 равно значению в 𝑄 зональной гармоники того же порядка с полюсом в 𝑃, то можно считать, что для каждого элемента 𝑑𝑠 поверхности построена зональная гармоника с полюсом в 𝑄 и с коэффициентом 𝐹𝑑𝑠.

Таким образом, мы получим систему налагающихся друг на друга зональных гармоник с полюсами в каждой точке сферы, в которой 𝐹 имеет ненулевое значение. Поскольку все они отличаются лишь множителем от поверхностной гармоники порядка 𝑛, их сумма также отличается лишь множителем от поверхностной гармоники (не обязательно зональной) порядка 𝑛.

Таким образом, поверхностный интеграл ∬𝐹𝑃_𝑛𝑑𝑠 рассматриваемый как функция точки 𝑃 отличается лишь множителем от поверхностной гармоники 𝑌_𝑛, а значит, и

2𝑛+1

4π𝑎²

∬

𝐹𝑃

_𝑛

𝑑𝑠

является именно той поверхностной гармоникой 𝑛-го порядка, которая входит в представление 𝐹 рядом по гармоникам, если только 𝐹 может быть так представлено.

Действительно, если 𝐹 может быть представлено в виде

𝐹

=

𝐴

₀

𝑌

₀

+

𝐴

₁

𝑌

₁

+…+

𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

+…

,

то, умножая на 𝑃_𝑛𝑑𝑠 и беря поверхностный интеграл по всей сфере, мы получим

∬

𝐹𝑃

_𝑛

𝑑𝑠

4π𝑎²

2𝑛+1

𝐴

_𝑛

𝑌

_𝑛

,

поскольку все члены, содержащие произведение гармоник различного порядка, обратятся в нуль.

Таким образом, единственное возможное разложение по сферическим гармоникам имеет вид

𝐹

=

1

4π𝑎²

⎡

⎢

⎣

∬

𝐹𝑃

_𝑛

𝑑𝑠

+…+

(2𝑛+1)

∬

𝐹𝑃

_𝑛

𝑑𝑠

+…

⎤

⎥

⎦

.

(51)

Сопряжённые гармоники

136. Мы видели, что поверхностный интеграл от произведения двух гармоник различного порядка всегда равен нулю. Но даже и для двух гармоник одного и того же порядка поверхностный интеграл от их произведения может равняться нулю. В этом случае говорят, что гармоники сопряжены друг другу. Условие взаимной сопряжённости двух гармоник выражается в приравнивании нулю правой части уравнения (46).

Если одна из гармоник зональная, то условие сопряжённости сводится к тому, что другая гармоника обращается в нуль в полюсе зональной гармоники.

Если начать с определённой гармоники 𝑛-го порядка, то условие сопряжённости ей другой гармоники накладывает на 2𝑛 её переменных одно условие.

Чтобы третья гармоника была сопряжена обеим предыдущим, нужно на её 2𝑛 переменных наложить два условия. Продолжая таким образом построение гармоник, сопряжённых всем предыдущим, мы будем иметь число условий, равное числу ранее имевшихся гармоник, так что на (2𝑛+1)-ю гармонику будет налагаться 2𝑛 условий для 2𝑛 её переменных, т.е. эта гармоника будет полностью определена.

Любая функция 𝐴𝑌_𝑛 кратная поверхностной гармонике 𝑛-го порядка, может быть выражеиа суммой кратных любой совокупности 2𝑛+1 сопряжённых гармоник того же порядка, так как коэффициенты 2𝑛+1 сопряжённых гармоник дают в наше распоряжение как раз столько свободных величин, сколько содержится параметров в 𝐴𝑌_𝑛 (2𝑛 переменных в 𝑌_𝑛 и коэффициент 𝐴).

Чтобы найти коэффициент перед какой-либо сопряжённой гармоникой, скажем перед

𝑌

σ

𝑛

,

предположим, что

𝐴𝑌

_𝑛

=

𝐴

₀

𝑌

0

𝑛

+…+

𝐴

_σ

𝑌

σ

𝑛

+…

.

Умножим это равенство на

𝑌

σ

𝑛

𝑑𝑠

и найдём поверхностный интеграл по сфере. Все слагаемые, содержащие произведение сопряжённых друг другу гармоник, обратятся в нуль и останется уравнение

𝐴

∬

𝑌

𝑛

𝑌

σ

𝑛

𝑑𝑠

=

𝐴

_σ

∬

(

𝑌

σ

𝑛

)²

𝑑𝑠

,

(52)

из которого и определяется 𝐴_σ.