Читаем Трактат об электричестве и магнетизме полностью

Трактат об электричестве и магнетизме

Арон-Меир Хаимович Бурштейн , Джеймс Клерк Максвелл

Следовательно, при заданной системе 2𝑛+1 сопряжённых гармоник всякая другая гармоника 𝑛-го порядка может быть выражена через эти гармоники, причём - единственным образом. Отсюда следует, что никакая другая гармоника не может быть сопряжена всем им.

137. Мы видели, что если полная система взаимно сопряжённых гармоник 𝑛-го порядка задана, то любая другая гармоника того же порядка выражается через них. В такой системе из 2𝑛+1 гармоник имеется 2𝑛(2𝑛+1) переменных, связанных 𝑛(2𝑛+1) уравнениями, так что 𝑛(2𝑛+1) переменных можно считать произвольными.

Мы могли бы, следуя Томсону и Тэту, выбрать в качестве системы сопряжённых гармоник такую, в которой 𝑛 полюсов каждой гармоники распределены так, что 𝑗 полюсов совпадают с полюсом оси 𝑥, 𝑘 - с полюсом оси 𝑦 и 𝑙 (𝑛-𝑖-𝑘) - с полюсом оси 𝑧. Если задать 𝑛+1 распределений, для которых 𝑙=0 и 𝑛 распределений, для которых 𝑙=1, то все остальные можно через них выразить.

Фактически всеми математиками (включая Томсона и Тэта) принята система, в которой 𝑛-σ полюсов совпадают с точкой, которую мы можем назвать Положительным Полюсом сферы, а остальные σ полюсов помещены через равные расстояния по экватору при нечётном их числе или через равные расстояния по половине экватора при чётном числе.

В этом случае все μ₁, μ₂, …, μ_𝑛-σ, равны cos θ; мы обозначим cos θ через μ. Если вместо sin θ ввести ν, то μ_𝑛-σ+1, …, μ_𝑛 примут вид νcos(φ-β), где β - азимут одного из полюсов на экваторе.

Величины λ_𝑝𝑞 равны единице, если и 𝑝 и 𝑞 меньше 𝑛-σ равны нулю, если один из индексов больше 𝑛-σ, а другой меньше, и равны cos 𝑠π/σ, если оба индекса больше 𝑛-σ. Здесь 𝑠 - целое число, меньшее σ.

138. Если все полюса совпадают с полюсом сферы, т. е. σ=0, то соответствующая гармоника называется Зональной гармоникой. Поскольку зональная гармоника имеет важное значение, мы выделим ей специальное обозначение 𝑃_𝑛.

Значение зональной гармоники можно найти либо из тригонометрического представления (43), либо непосредственно дифференцированием:

𝑃

_𝑛

(-1)

^𝑛

𝑟^𝑛+1

𝑛!

𝑑^𝑛

𝑑𝑧^𝑑

⎛

⎜

⎝

𝑟

⎞

⎟

⎠

(53)

𝑃

_𝑛

1⋅3⋅5…(2𝑛-1)

1⋅2⋅3…𝑛

⎡

⎢

⎣

^𝑛

𝑛(𝑛-1)

2(2𝑛-1)

^𝑛-2

𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)

2⋅4⋅(2𝑛-1)(2𝑛-3)

^𝑛-4

-…

⎤

⎥

⎦

∑

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑝

(2𝑛-2𝑝)!

2^𝑛𝑝!(𝑛-𝑝)!(𝑛-2𝑝)!

^𝑛-2𝑝

⎤

⎥

⎦

(54)

где 𝑝 принимает все целые значения от нуля до наибольшего целого, не превышающего 𝑛/2.

Иногда удобно представить 𝑃_𝑛 как однородную функцию от cos θ и sin θ, или, в наших обозначениях, от μ и ν:

𝑃

_𝑛

^𝑛

𝑛(𝑛-1)

2⋅2

^𝑛-2

𝑛(𝑛-1)(𝑛-2)(𝑛-3)

2⋅2⋅4⋅4

^𝑛-4

⁴

-…

∑

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑝

𝑛!

2^2𝑝(𝑝!)²(𝑛-2𝑝)!

^𝑛-2𝑝

^2𝑝

⎤

⎥

⎦

(55)

В математических исследованиях по этому вопросу доказывается, что 𝑃_𝑛(μ) является коэффициентом при 𝘩^𝑛 в разложении (1-2μ𝘩+𝘩²)^-1/2 и что 𝑃_𝑛(μ) равно также

2^𝑛𝑛!

𝑑^𝑛

𝑑μ^𝑛

(μ²-1)

^𝑛

Поверхностный интеграл от квадрата зональной гармоники равен

∬

(𝑃

_𝑛

)²

𝑑𝑠

2π𝑎²

∫

-1

(𝑃

_𝑛

(μ))²

𝑑μ

4π𝑎²

2𝑛+1

(56)

так что

∫

-1

(𝑃

_𝑛

(μ))²

𝑑μ

2𝑛+1

(57)

139. Если зональная гармоника рассматривается просто как функция от μ без специальной ссылки на сферическую поверхность, она может быть названа Коэффициентом Лежандра.

Если же рассматривать зональную гармонику на сферической поверхности, точки которой определяются координатами θ и φ, и принять, что полюс зональной гармоники находится в точке (θ',φ'), то значение зональной гармоники в точке (θ,φ) будет функцией четырёх углов θ', φ', θ, φ, но поскольку оно зависит лишь от μ, т. е. от косинуса дуги, соединяющей точки (θ,φ) и (θ',φ') оно не меняется при замене θ на θ' и φ на φ' и наоборот. Выраженная так зональная гармоника называется Коэффициентом Лапласа. Томсон и Тэт называют её Биаксиальной Гармоникой.

Любая однородная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая уравнению Лапласа, может быть названа Пространственной гармоникой, а значение пространственной гармоники на поверхности сферы с центром в начале координат может быть названо Поверхностной гармоникой. В этой книге мы определили поверхностную гармонику через её 𝑛 полюсов, так что в ней только 2𝑛 переменных. Пространственная гармоника в более широком смысле, имеющая 2𝑛+1 переменных, отличается от пространственной гармоники в узком смысле слова умножением на произвольную постоянную. Пространственная гармоника в широком смысле слова, выраженная через θ и φ, называется Функцией Лапласа.

140 а. Чтобы получить другие гармоники симметричной системы, нужно продифференцировать по о осям, лежащим в плоскости 𝑥𝑦 и образующим друг с другом угол π/σ. Это удобнее всего сделать с помощью системы комплексных координат, приведённой в Natural Philosophy Томсона и Тэта (т. I, с. 148 первого издания, с. 185 - второго).

Если положить ξ=𝑥+𝑖𝑦, η=𝑥-𝑖𝑦, где 𝑖 означает √-1, то операция дифференцирования по осям σ, одна из которых образует угол α с осью 𝑥 может быть записана для нечётных σ следующим образом:

⎛

⎜

⎝

𝑒

^𝑖α

𝑑

𝑑ξ

𝑒

^𝑖α

𝑑

𝑑η

⎞