Трактат об электричестве и магнетизме

то все условия для потенциала, создаваемого заряженной так оболочкой, будут выполнены.

Действительно, потенциал всюду конечен и непрерывен и обращается в нуль на бесконечности. Первые производные потенциала всюду конечны и непрерывны, за исключением заряженной поверхности, где они удовлетворяют уравнению

𝑑𝑉

𝑑ν

+

𝑑𝑉'

𝑑ν'

+

4πσ

=

0,

(19)

и уравнение Лапласа удовлетворяется во всех точках как внутри, так и вне поверхности сферы.

Таким образом, это распределение потенциала удовлетворяет всем условиям, и, согласно п. 100 в, оно является единственным распределением, удовлетворяющим этим условиям.

131 б. Потенциал, создаваемый сферой радиуса 𝑎 с поверхностной плотностью, задаваемой соотношением

4π𝑎²σ

=

𝑌

_𝑛

,

(20)

во всех точках вне сферы совпадает с потенциалом соответствующей особой точки 𝑛-го порядка.

Предположим теперь, что имеется некоторая электрическая система 𝐸 расположенная вне сферы, и что Ψ - потенциал, создаваемый этой системой. Найдём значение ∑(Ψ𝑒) для особой точки. Эта величина даёт часть электрической энергии, зависящую от воздействия внешней системы на особую точку.

Если 𝐴₀ - заряд особой точки нулевого порядка, то искомая потенциальная энергия равна

𝑊

₀

=

𝐴

₀

Ψ

.

(21)

Если имеются две такие точки, причём отрицательная находится в начале координат, а положительная точка с тем же по величине зарядом - на конце оси 𝘩₁ то потенциальная энергия равна

-𝐴

₀

Ψ

+

𝐴

₀

⎛

⎜

⎝

Ψ

+

𝘩

₁

𝑑Ψ

𝑑𝘩₁

+

1

2

𝘩

₁

²

𝑑²Ψ

𝑑𝘩₁²

+…

⎞

⎟

⎠

и при неограниченном росте 𝐴₀ и уменьшении 𝘩₁ так, что 𝐴₀𝘩₁=𝐴₁ получим значение потенциальной энергии для точки первого порядка

𝑊

₁

=

𝐴

₁

𝑑Ψ

𝑑𝘩₁

.

(22)

Аналогично для точки 𝑛-го порядка получим потенциальную энергию

𝑊

_𝑛

=

1

1⋅2⋅…𝑛

𝐴

_𝑛

𝑑^𝑛Ψ

𝑑𝘩₁𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

.

¹

(23)

¹ В дальнейшем удобнее будет обозначать произведение положительных целых чисел 1⋅2⋅3…𝑛 через 𝑛!.

131 в. Если принять заряд внешней системы состоящим из отдельных частей, каждую из которых мы обозначим через 𝑑𝐸 а заряд особой точки порядка 𝑛 считать образованным отдельными частичными зарядами 𝑑𝑒 то

Ψ

=

∑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝐸

⎞

⎟

⎠

.

(24)

Но если потенциал 𝑉_𝑛, обусловленный наличием особой точки, равен

𝑉

_𝑛

=

∑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝑒

⎞

⎟

⎠

,

(25)

а потенциальная энергия, обусловленная воздействием 𝐸 на 𝑒, равна

𝑊

_𝑛

=

∑

(Ψ𝑑𝑒)

=

∑∑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝐸

𝑑𝑒

⎞

⎟

⎠

=

∑

(𝑉

_𝑛

𝑑𝐸)

,

(26)

то последнее выражение представляет собой потенциальную энергию, обусловленную воздействием 𝑒 на 𝐸.

Аналогично если σ𝑑𝑠 - заряд на элементе 𝑑𝑠 оболочки, то, поскольку потенциал, обусловленный оболочкой в месте нахождения внешней системы 𝐸 равен 𝑉_𝑛, имеем

𝑊

_𝑛

=

∑

(𝑉

_𝑛

𝑑𝐸)

=

∑∑

⎛

⎜

⎝

1

𝑟

𝑑𝐸

σ

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

=

∑

(Ψσ𝑑𝑠)

.

(27)

Последний член содержит суммирование по поверхности сферы. Приравнивая его к первому выражению для 𝑊_𝑛, получим

∬

Ψσ𝑑𝑠

=

∑

(Ψ𝑑𝑒)

1

𝑛!

𝐴

_𝑛

𝑑^𝑛Ψ

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

.

(28)

Если вспомнить, что 4πσ𝑎=(2𝑛+1)𝑌_𝑛, а 𝐴_𝑛=𝑎^𝑛, то получим

∬

Ψ𝑌

_𝑛

𝑑𝑠

=

4π

𝑛!(2𝑛+1)

𝑎

^𝑛+2

𝑑^𝑛Ψ

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

.

(29)

Это уравнение сводит операцию интегрирования Ψ𝑌_𝑛𝑑𝑠 по всем элементам поверхности сферы радиуса 𝑎 к операции дифференцирования Ψ по 𝑛 осям гармоники и вычисления значения этой производной в центре сферы, если только Ψ удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках внутри сферы, а 𝑌_𝑛 - поверхностная гармоника порядка 𝑛.

132. Пусть теперь Ψ - пространственная гармоника положительной степени 𝑚 вида

Ψ

=

𝑎

^-𝑚

𝑌

_𝑚

𝑟

^𝑚

.

(30)

На поверхности сферы 𝑟=𝑎, a Ψ=𝑌_𝑚, так что уравнение (29) принимает в этом случае вид

∬

𝑌

_𝑚

𝑌

_𝑛

𝑑𝑠

=

4π

𝑛!(2𝑛+1)

𝑎

^𝑛-𝑚+2

𝑑^𝑛(𝑌_𝑚𝑟^𝑚)

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

(31)

где значение производной следует брать в центре сферы.

Если 𝑛 меньше 𝑚, то в результате дифференцирования получится однородная функция от 𝑥, 𝑦 и 𝑧 степени 𝑚-𝑛, значение которой в центре сферы равно нулю. Если 𝑛 равно 𝑚, то в результате дифференцирования получится постоянная, значение которой мы определим в п. 134. При дальнейшем дифференцировании получится нуль. Таким образом, интеграл ∬𝑌_𝑚𝑌_𝑛𝑑𝑠 равен нулю при неодинаковых 𝑛 и 𝑚.

Мы пришли к этому результату чисто математическим путём, потому что, хотя мы и пользовались такими физическими понятиями, как электрическая энергия, все эти понятия рассматривались не как физическое явление, подлежащее исследованию, а как определённое математическое выражение. Математик может с равным правом воспользоваться этими или какими-либо другими математическими функциями, которые он сочтёт полезными, но физик, которому приходится проводить математические преобразования, понимает их лучше всего, если каждый этап расчёта допускает физическое истолкование.

133. Определим теперь вид поверхностной гармоники 𝑌_𝑛 в зависимости от положения точки 𝑃 на сфере по отношению к 𝑚 полюсам гармоники.

Мы имеем

𝑌

₀

=

1,

𝑌

₁

=

μ

₁

,

𝑌

₂

=

3

2

μ

₁

μ

₂

-

1

2

λ

₁₂

,

𝑌

₃

=

5

2

μ

₁

μ

₂

μ

₃

-

1

2

(

μ

₁

λ

₂₃

+

μ

₂

λ

₃₁

+

μ

₃

λ

₁₂

),

(32)

и т.д.

Таким образом, каждое слагаемое в 𝑌_𝑛 состоит из произведений косинусов, причём множители типа μ - с одним индексом, это косинусы углов между 𝑃 и различными полюсами, а множители типа λ - с двумя индексами, это косинусы углов между полюсами.

Поскольку каждая ось вводится одним из 𝑛 дифференцирований, индекс этой оси может встретиться один и только один раз среди индексов косинусов в каждом слагаемом.