Трактат об электричестве и магнетизме

Две бесконечные коаксиальные цилиндрические поверхности

126. Пусть радиус внешней поверхности проводящего цилиндра равен 𝑎 а радиус внутренней поверхности полого цилиндра, коаксиального первому, равен 𝑏. Пусть их потенциалы соответственно равны 𝐴 и 𝐵. Потенциал 𝑉 зависит в этом случае только от расстояния 𝑟 от оси, так что уравнение Лапласа принимает вид

𝑑²𝑉

𝑑𝑟²

+

1

𝑟

𝑑𝑉

𝑑𝑟

=

0.

откуда 𝑉=𝐶₁+𝐶₂ ln 𝑟.

Поскольку 𝑉=𝐴 при 𝑟=𝑎 и 𝑉=𝐵 при 𝑟=𝑏, то

𝑉

=[

𝐴 ln(𝑏/𝑟)

+

𝐵 ln(𝑟/𝑏)

]/

ln(𝑏/𝑎)

.

Если σ₁ и σ₂ - поверхностные плотности на внутренней и внешней поверхностях, то

4πσ

₁

=

𝐴-𝐵

 ,

𝑎 ln

𝑏

𝑎

4πσ

₂

=

𝐴-𝐵

 ,

𝑏 ln

𝑏

𝑎

Для зарядов 𝑒₁ и 𝑒₂ на участках обоих цилиндров между двумя сечениями перпендикулярными оси, и отстоящими друг от друга на расстояние 𝑙 имеем

𝑒

₁

=

2π𝑎𝑙σ

₁

=

1

⋅

𝐴-𝐵

𝑙

=

-𝑒

₂

.

2

ln

𝑏

𝑎

Следовательно, ёмкость участка внутреннего цилиндра длины 𝑙 равна 𝑙/(2 ln(𝑏/𝑎)).

Если пространство между цилиндрами занято не воздухом, а диэлектриком с удельной индуктивной способностью 𝐾 то ёмкость участка внутреннего цилиндра длины 𝑙 равна 𝑙𝐾/(2 ln (𝑏/𝑎)).

Энергия распределения электричества на рассматриваемом участке бесконечного цилиндра равна 𝑙𝐾(𝐴-𝐵)²/(4 ln (𝑏/𝑎)).

127. Пусть два полых цилиндрических проводника 𝐴 и 𝐵 произвольной длины (рис. 6), имеющие общую ось 𝑥, расположены один с отрицательной стороны от начала координат, а другой с положительной стороны и разделены небольшим промежутком вблизи начала координат.

Пусть цилиндр 𝐶 длины 2𝑙 расположен так, что его центральная точка находится на расстоянии 𝑥 от начала координат в положительную сторону, а сам цилиндр 𝐶 входит внутрь полых цилиндров.

Положим потенциал полого цилиндра на положительной стороне равным 𝐴 на отрицательной стороне равным 𝐵 и потенциал внутреннего цилиндра равным 𝐶, обозначим через α ёмкость единицы длины 𝐶 по отношению к 𝐴, а через β - ёмкость единицы длины 𝐶 по отношению к 𝐵.

Рис. 6

Поверхностная плотность на участках цилиндров в фиксированных точках вблизи начала координат и в точках, находящихся на заданном небольшом расстоянии от концов внутреннего проводника, не зависит от величины 𝑥, если только внутренний цилиндр достаточно глубоко входит внутрь обоих полых цилиндров. Вблизи концов полых цилиндров и вблизи концов внутреннего цилиндра устанавливается распределение электричества, которое мы ещё пока не можем рассчитать, однако распределение у начала координат не меняется при перемещении внутреннего цилиндра, если ни один из его концов не подходит близко к началу координат, а распределения у концов внутреннего цилиндра перемещаются вместе с цилиндром, так что эффект перемещения цилиндра сводится лишь к увеличению или уменьшению тех участков внутреннего цилиндра, на которых заряд распределён как на бесконечном цилиндре.

Следовательно, зависимость полной энергии системы от 𝑥 даётся выражением

𝑄

=

1

2

α(𝑙+𝑥)

(𝐶-𝐴)²

+

1

2

β(𝑙-𝑥)

(𝐶-𝐵)²

+

+ величины, не зависящие от

𝑥

,

а результирующая сила, параллельная оси цилиндров, равна, согласно п. 93б,

𝑋

=

𝑑𝑄

𝑑𝑥

α(𝐶-𝐴)²

-

1

2

β(𝐶-𝐵)²

,

поскольку энергия представлена через потенциалы.

Если сечения цилиндров 𝐴 и 𝐵 одинаковы, то α=β и 𝑋=α(𝐵-𝐴)[𝐶(𝐴+𝐵)/2].

Таким образом, оказывается, существует постоянная сила, действующая на внутренний цилиндр и втягивающая его в тот внешний цилиндр, потенциал которого больше отличается от потенциала внутреннего проводника.

Если 𝐶 по величине значительно больше 𝐴+𝐵, то сила приблизительно равна 𝑋=α(𝐵-𝐴)𝐶, так что можно определить разность потенциалов двух цилиндров, если измерить 𝑋, причём точность измерения увеличивается с повышением потенциала внутреннего цилиндра 𝐶. Этот принцип в несколько модифицированном виде принят в томсоновском квадрантном электрометре (п. 219).

Это же приспособление из трёх цилиндров можно использовать для измерения ёмкости, соединив 𝐵 и 𝐶. Если потенциал 𝐴 равен нулю, а потенциал 𝐵 и 𝐶 равен 𝑉, то количество электричества на 𝐴 равно 𝐸₃=(𝑞₁₃+α(𝑏+𝑥))𝑉, где 𝑞₁₃ зависит от распределения электричества на концах цилиндра, но не зависит от 𝑥. Переместив цилиндр вправо, так что 𝑥 перейдёт в 𝑥+ξ, мы увеличим ёмкость цилиндра 𝐶 на определённую величину αξ где α=1[2 ln(𝑎/𝑏)], а 𝑎 и 𝑏 - радиусы противолежащих цилиндрических поверхностей.

ГЛАВА IX

СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ