Трактат об электричестве и магнетизме

Поместив в начало координат точку первого порядка с моментом -𝐴₁ а на конце оси 𝘩₂ другую точку первого порядка с моментом 𝐴₁ и уменьшая затем 𝘩₂ с одновременным увеличением 𝐴₁, так что

𝐴

₁

𝘩

₂

=

𝐴

₂

/2

,

(11)

мы получим точку второго порядка, потенциал которой

𝑉

₂

=

-𝘩

₂

𝑑

𝑑𝘩₂

𝑉

₁

=

𝐴

₂

3μ₁μ₂-λ₁₂

𝑥²

.

(12)

Точку второго порядка можно назвать четырехкратной (квадрупольной) точкой, так как она получается при сближении четырёх точек нулевого порядка. Она имеет две оси 𝘩₁ и 𝘩₂ и момент 𝐴₂. Направления этих осей и величина момента полностью определяют характер точки.

Последовательно дифференцируя по 𝑛 осям мы получим потенциал, создаваемый точкой 𝑛-го порядка. Он представляет собой произведение трёх множителей-константы, некоторой комбинации косинусов и 𝑟^-(𝑛+1). По причинам, которые станут ясны в дальнейшем, значение константы удобно выбирать так, что при совпадении всех осей с радиус-вектором коэффициент момента равен 𝑟^-(𝑛+1). Поэтому мы будем делить на 𝑛 при дифференцировании по 𝘩_𝑛.

Таким образом, мы получим вполне определённое численное значение для каждого потенциала, которому мы и присвоим название Пространственной Гармоники степени -(𝑛+1), а именно

𝑉

_𝑛

=

(-1)

^𝑛

1

1⋅2⋅3…𝑛

𝑑

𝑑𝘩₁

𝑑

𝑑𝘩₂

…

𝑑

𝑑𝘩_𝑛

1

𝑟

.

(13)

При умножении этой величины на постоянную она по-прежнему остаётся потенциалом, создаваемым некоторой точкой 𝑛-го порядка.

129 г. Результат операции (13) имеет вид

𝑉

_𝑛

=

𝑌

_𝑛

𝑟

^-(𝑛+1)

,

(14)

где 𝑌_𝑛 -функция 𝑛 косинусов μ₁, μ₂, …, μ_𝑛 углов между 𝑟 и 𝑛 осями и 𝑛(𝑛-1)/2 косинусов λ₁₂ и т. д. углов между парами осей.

Если считать направления 𝑟 и 𝑛 осей задаваемыми точками на сферической поверхности, то можно рассматривать 𝑌_𝑛 как величину, меняющуюся от точки к точке на этой поверхности и являющуюся функцией 𝑛(𝑛+1)/2 расстояний между 𝑛 полюсами осей и полюсом радиус-вектора. Поэтому мы называем 𝑌_𝑛 Поверхностной Гармоникой порядка 𝑛.

130a. Теперь мы покажем, что каждой поверхностной гармонике порядка 𝑛 соответствует наряду с пространственной гармоникой порядка -(𝑛+1) и другая порядка 𝑛, т. е. что

𝐻

_𝑛

=

𝑌

_𝑛

𝑟

^𝑛

=

𝑉

_𝑛

𝑟

^2𝑛+1

(15)

удовлетворяет уравнению Лапласа.

Действительно,

𝑑𝐻_𝑛

𝑑𝑥

=

(2𝑛+1)

𝑟

^2𝑛-1

𝑥𝑌

_𝑛

+

𝑟

^2𝑛-1

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑥

,

𝑑²𝐻_𝑛

𝑑𝑥²

=

(2𝑛+1)

[(2𝑛-1)𝑥²+𝑟²]

𝑟

^2𝑛-3

𝑌

_𝑛

+

+

2(2𝑛+1)

𝑟

^2𝑛-1

𝑥

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑥

+

𝑟

^2𝑛+1

𝑑²𝑉_𝑛

𝑑𝑥²

,

поэтому

𝑑𝐻_𝑛

𝑑𝑥

+

𝑑𝐻_𝑛

𝑑𝑦

+

𝑑𝐻_𝑛

𝑑𝑧

=

(2𝑛+1)

(2𝑛+2)

𝑟

^2𝑛-1

𝑌

_𝑛

+

+

2(2𝑛+1)

𝑟

^2𝑛-1

⎛

⎜

⎝

𝑥

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑥

+

𝑦

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑦

+

𝑧

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑟

^2𝑛+1

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉_𝑛

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉_𝑛

𝑑𝑦²

+

𝑑²𝑉_𝑛

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

.

(16)

Ho 𝑉_𝑛 - однородная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, отрицательной степени 𝑛+1, так что

𝑥

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑥

+

𝑦

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑦

+

𝑧

𝑑𝑉_𝑛

𝑑𝑧

=

-(𝑛+1)𝑉

_𝑛

.

(17)

Поэтому первые два слагаемых в правой части (16) взаимно сокращаются, а поскольку 𝑉_𝑛 удовлетворяет уравнению Лапласа, то и третье слагаемое равно нулю, так что и 𝐻_𝑛 удовлетворяет уравнению Лапласа, т. е. является пространственной гармоникой степени 𝑛.

Здесь мы имеем дело с частным случаем более общей теоремы об электрической инверсии, утверждающей, что если 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) - функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая уравнению Лапласа, то существует другая функция

𝑎

𝑟

=

𝐹

⎛

⎜

⎝

𝑎²𝑥

𝑟²

+

𝑎²𝑦

𝑟²

+

𝑎²𝑧

𝑟²

⎞

⎟

⎠

,

также удовлетворяющая уравнению Лапласа (см. п. 162).

130 б. Поверхностная гармоника 𝑌_𝑛 содержит 2𝑛 произвольных переменных, так как она определяется положением 𝑛 её полюсов на сфере, а каждый полюс определяется двумя координатами. Следовательно, пространственные гармоники 𝑉_𝑛 и 𝐻_𝑛 также родержат 2𝑛 произвольных переменных. При этом обе они после умножения на постоянную удовлетворяют уравнению Лапласа.

Чтобы показать, что 𝐴𝐻_𝑛 - наиболее общая рациональная однородная функция степени 𝑛, которая может удовлетворять уравнению Лапласа, заметим, что общая рациональная однородная функция 𝐾 степени 𝑛 содержит (𝑛+1)(𝑛+2)/2 членов. Но ∇²𝐾 является однородной функцией степени 𝑛-2 и, следовательно, содержит 𝑛(𝑛-1)/2 членов, так что условие ∇²𝐾=0 требует равенства каждого из этих членов нулю. Таким образом, мы получаем 𝑛(𝑛-1)/2 уравнений для (𝑛+1)(𝑛+2)/2 членов функции 𝐾, так что в наиболее общей форме однородной функции степени 𝑛, удовлетворяющей уравнению Лапласа, остаётся 2𝑛+1 произвольных постоянных. Но 𝐻_𝑛 после умножения на произвольную постоянную как раз удовлетворяет требуемым условиям и содержит 2𝑛+1 произвольных постоянных. Таким образом, это и есть наиболее общая форма.

131 а. Теперь мы можем построить распределение потенциала, при котором ни сам потенциал, ни его первые производные не обращаются в бесконечность ни в одной точке.

Функция 𝑉_𝑛=𝑌_𝑛𝑟^-(𝑛+1) удовлетворяет условию обращения в нуль на бесконечности, но становится бесконечной в начале координат.

Функция 𝑉_𝑛=𝑌_𝑛𝑟^𝑛 конечна и непрерывна на конечных расстояниях от начала координат, но не обращается в нуль на бесконечности.

Но если принять потенциал во всех точках вне сферы радиуса а с центром в начале координат равным 𝑎^𝑛=𝑌_𝑛𝑟^-(𝑛+1), а потенциал во всех точках внутри сферы равным 𝑎^-(𝑛+1)=𝑌_𝑛𝑟^𝑛 и предположить, что на самой сфере электричество распределено с поверхностной плотностью σ, определяемой соотношением

4πσ𝑎²

=

(2𝑛+1)

𝑌

_𝑛

,

(18)