Трактат об электричестве и магнетизме

Значит, если в каком-либо слагаемом имеется s косинусов с двойными индексами, то должны входить ещё 𝑛-2𝑠 косинусов с единичными индексами.

Будем записывать сумму всех произведений косинусов, в которых s косинусов с двойными индексами, в сокращённом виде

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

.

В каждом таком произведении все индексы встречаются по одному разу и ни один не повторяется.

Чтобы показать, что некоторый определённый индекс 𝑚 встречается только у μ или только у λ, мы будем указывать его индексом у μ или λ. Таким образом, равенство

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

=

∑

(μ

𝑛-2𝑠

𝑚

λ

^𝑠

)

+

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

𝑠

𝑚

)

(33)

показывает, что вся совокупность произведений может быть разделена на две части, в одной из которых индекс 𝑚 встречается среди направляющих косинусов переменной точки 𝑃, а в другой - среди косинусов углов между полюсами. Предположим теперь, что для определённого значения 𝑛

𝑌

_𝑛

=

𝐴

_𝑛.0

∑

(μ

^𝑛

)

+

𝐴

_𝑛.1

(μ

^𝑛-2

λ

¹

)

+…+

𝐴

_𝑛.𝑠

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

+…,

(34)

где через 𝐴 обозначены численные коэффициенты. Мы можем записать эту сумму в сокращённой форме:

𝑌

_𝑛

=

𝑆[

𝐴

_𝑛.𝑠

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

],

где 𝑆 показывает суммирование по всем значениям 𝑠 не больше 𝑛/2, включая и нулевое.

Чтобы получить соответствующую пространственную гармонику отрицательной степени (𝑛+1) порядка 𝑛 умножим на 𝑟^-(𝑛+1) и получим

𝑉

_𝑛

=

𝑆[

𝐴

_𝑛.𝑠

𝑟

^{-(2𝑠-𝑛-1)}

∑

(𝑝

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

],

(36)

где положено 𝑟μ=𝑝, как в уравнении (3).

Если продифференцировать 𝑉_𝑛 по новой оси 𝘩_𝑚, то получится -(𝑛+1)𝑉_𝑛+1, и, следовательно,

(𝑛+1)𝑉

_𝑛+1

=

𝑆[

𝐴

_𝑛.𝑠

(2𝑛+1-2𝑠)

𝑟

^{(2𝑠-2𝑛-3)}

∑

(𝑝

𝑛-2𝑠+1

𝑚

λ

^𝑠

)

-

-

𝐴

_𝑛.𝑠

𝑟

^{(2𝑠-2𝑛-1)}

∑

(𝑝

𝑛-2𝑠-1

λ

𝑠+1

𝑚

)].

(37)

Чтобы получить члены, содержащие 𝑠 косинусов с двойными индексами, нужно уменьшить 𝑠 на единицу в последнем члене. В результате получим

(𝑛+1)𝑉

_𝑛+1

=

𝑆[

𝑟

^{(2𝑠-2𝑛-3)}

{

𝐴

_𝑛.𝑠

(2𝑛-2𝑠+1)

∑

(𝑝

𝑛-2𝑠+1

𝑚

λ

𝑠

)-

-

𝐴

_𝑛.𝑠-1

∑

(𝑝

𝑛-2𝑠+1

λ

𝑠

𝑚

)}].

(38)

Но оба эти типа произведений отличаются друг от друга лишь тем, что в одном из них индекс 𝑚 встречается лишь у 𝑝, а в другом - у λ. Таким образом, коэффициенты перед ними должны быть одинаковы, а поскольку мы могли прийти к тому же результату, положив 𝑛+1 вместо 𝑛 в выражении для 𝑉_𝑛 и умножив на 𝑛+1, мы получаем уравнения

(𝑛+1)𝐴

_𝑛+1.𝑠

=

(2𝑛-2𝑠+1)

𝐴

_𝑛.𝑠

=

-𝐴

_𝑛.𝑠-1

.

(39)

Если положить здесь 𝑠=0, то

(𝑛+1)𝐴

_𝑛+1.0

=

(2𝑛+1)𝐴

_𝑛.0

(40)

и, следовательно, поскольку 𝐴_1.0=1,

𝐴

_𝑛.0

=

2𝑛!

2^𝑛⋅(𝑛!)²

.

(41)

Отсюда находится общее выражение для коэффициента

𝐴

_𝑛.𝑠

=

(-1)

^𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2^𝑛-𝑠𝑛!(𝑛-𝑠)!

(42)

и окончательно тригонометрическое выражение для поверхностной гармоники

𝑌

_𝑛

=

𝑆

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑠

(2𝑛-2𝑠)!

2^𝑛-𝑠𝑛!(𝑛-𝑠)!

∑

(μ

^𝑛-2𝑠

λ

^𝑠

)

⎤

⎥

⎦

.

(43)

Это выражение определяет значение поверхностной гармоники в любой точке 𝑃 сферической поверхности через косинусы расстояний 𝑃 от различных полюсов и расстояний полюсов друг от друга.

Легко видеть, что если какой-либо из полюсов переносится в противоположную точку сферической поверхности, то значение гармоники меняется на противоположное по знаку. Действительно, каждый косинус, содержащий индекс этого полюса, поменяет знак, а в каждое слагаемое гармоники индекс этого полюса входит один и только один раз.

Если два или любое чётное число полюсов переносятся в соответственно противоположные им точки, то значение гармоники, очевидно, не меняется.

Профессор Сильвестер показал (Phil. Mag., Oct. 1876), что при заданной гармонике задача определения 𝑛 прямых, совпадающих с её осями, имеет одно и только одно решение, хотя, как мы видели, положительные направления этих осей можно парами менять на противоположные.

134. Теперь мы можем определить значение поверхностного интеграла ∬𝑌_𝑚𝑌_𝑛𝑑𝑠 в случае, когда порядок обеих поверхностных гармоник одинаков, хотя направления их осей могут быть в общем случае разными.

Для этого нужно построить пространственную гармонику 𝑌^𝑚𝑟_𝑚 и продифференцировать её по каждой из 𝑛 осей 𝑌_𝑛.

Любой член 𝑌^𝑚𝑟_𝑚 типа 𝑟^𝑚μ^𝑚-2𝑠λ^𝑠 может быть представлен в виде

𝑟

^2𝑠

𝑝

𝑚-2𝑠

𝑚

λ

𝑠

𝑛𝑚

.

Дифференцируя его 𝑛 раз последовательно по 𝑛 осям 𝑌_𝑛, мы увидим, что при дифференцировании 𝑟^2𝑠 по 𝑠 из этих осей у нас появятся 𝑠 раз величины 𝑝_𝑛 и численный множитель 2𝑠(2𝑠-2) т. е. 2^𝑠𝑠! Продолжение дифференцирования на следующие 𝑠 осей превращает эти 𝑝_𝑛 в λ_𝑛𝑛, но не вводит никаких дополнительных численных множителей, а при дифференцировании по остальным 𝑛-2𝑠 осям множители 𝑝_𝑚 переходят в λ_𝑚𝑛, так что в результате получается

2

^𝑠

𝑠!

λ

𝑠

𝑛𝑛

λ

𝑠

𝑚𝑚

λ

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

.

Таким образом, согласно (31),

∬

𝑌

_𝑚

𝑌

_𝑛

𝑑𝑠

=

4π

𝑛!(2𝑛+1)

𝑎

^𝑛-𝑚+2

𝑑^𝑛(𝑌_𝑚𝑟^𝑚)

𝑑𝘩₁…𝑑𝘩_𝑛

,

(44)

а по (43)

𝑌

_𝑚

𝑟

^𝑚

=

𝑆

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑠

(2𝑚-2𝑠)!

2^𝑚-𝑠𝑚!(𝑚-𝑠)!

∑

(

𝑟

^2𝑠

𝑝

𝑚-2𝑠

𝑚

λ

𝑠

𝑚𝑚

)

⎤

⎥

⎦

.

(45)

Следовательно, произведя дифференцирование и вспомнив, что 𝑚=𝑛, получим

∬

𝑌

_𝑚

𝑌

_𝑛

𝑑𝑠

=

4π𝑎²

(2𝑛+1)(𝑛!)²

×

×

𝑆

⎡

⎢

⎣

(-1)

^𝑠

(2𝑛-2𝑠)!𝑠!

2^𝑛-2𝑠(𝑛-𝑠)!

∑

(

λ

𝑠

𝑚𝑚

λ

𝑠

𝑛𝑛

λ

𝑛-2𝑠

𝑚𝑛

)

⎤

⎥

⎦

.

(46)

135 а. Выражение (46) для поверхностного интеграла от произведения двух поверхностных гармоник принимает весьма замечательный вид в случае, когда все оси одной из гармоник, скажем 𝑌_𝑚, совпадают друг с другом, так что 𝑌_𝑚 становится так называемой «зональной гармоникой порядка 𝑚», определяемой нами ниже и обозначаемой символом 𝑃_𝑚.