Трактат об электричестве и магнетизме

128. Математическая теория сферических гармоник исследовалась в целом ряде специальных трактатов. В 1878 г. вышло второе издание в двух томах книги Handbuch der Kugelfunctionen д-ра Э. Хайне (Е. Heine), являющейся наиболее детальным исследованием в этой области, а д-р Ф. Нейманн опубликовал свои Beiträdge zur Theorie der Kugelfunctionen (Leipzig, Teubner, 1878). Значительно улучшено рассмотрение этого вопроса во втором издании 1879 г. Natural Philosophy Томсона и Тэта, а публикация книг Тодхантера, Elementary Treatise on Laplace's Functions, Lamé's Functions and Bessel’s Functions и Феррерса Elementary Treatise on Spherical Harmonics and subjects connected with them сделали излишним детальное рассмотрение чисто математических вопросов в книге по электричеству.

И всё же я оставил здесь представление сферической гармоники через её полюса.

Об особых точках, в которых потенциал становится бесконечным

129 а. Если электрический заряд 𝐴₀ равномерно распределён по поверхности, сферы, центр которой имеет координаты (𝑎, 𝑏, 𝑐), то потенциал любой точки (𝑥, 𝑦, 𝑧) вне сферы, согласно п. 125, равен

𝑉

=

𝐴

₀

/𝑟

,

(1)

где

𝑟²

=

(𝑥-𝑎)²

+

(𝑦-𝑏)²

+

(𝑧-𝑐)²

.

Поскольку выражение для 𝑉 не зависит от радиуса сферы, оно останется тем же и в предположении бесконечно малого радиуса. Физически это означало бы, что заряд помещается на поверхности бесконечно малой сферы, что по существу то же самое, что математическая точка. Мы выше показали (п. 55, 81), что для значения поверхностной плотности электричества существует предел, так что физически невозможно поместить конечный заряд электричества на сферу меньше некоторого радиуса.

Тем не менее, поскольку (1) описывает возможное распределение потенциала в пространстве, окружающем сферу, мы можем математически считать потенциал как бы создаваемым зарядом 𝐴₀, сосредоточенным в математической точке (𝑎, 𝑏, 𝑐), а эту точку можно назвать особой точкой нулевого порядка.

Существуют и другие типы особых точек, свойства которых мы рассмотрим ниже, но, прежде чем перейти к этому, следует определить некоторые выражения, которые окажутся нам полезными при рассмотрении направлений в пространстве и соответствующих им точек на сфере.

129 б.Осью называется любое фиксированное направление в пространстве. Мы будем считать, что оно определяется меткой на сфере в той точке, где радиус, проведённый из центра сферы в направлении оси, пересекает поверхность сферы. Эта точка называется Полюсом оси. Таким образом, ось имеет не два полюса, а один.

Если μ - косинус угла между осью 𝘩 и любым вектором 𝑟, а

𝑝

=

μ𝑟

,

то 𝑝 - проекция 𝑟 по направлению оси 𝘩.

Различные оси отличаются разными индексами, а косинус угла между двумя осями обозначается через λ_𝑚𝑛, где 𝑚 и 𝑛 - индексы, характеризующие оси.

Дифференцирование по оси 𝘩, имеющей направляющие косинусы 𝐿, 𝑀, 𝑁, обозначается так:

𝑑

𝑑𝘩

=

𝐿

𝑑

𝑑𝑥

+

𝑀

𝑑

𝑑𝑦

+

𝑁

𝑑

𝑑𝑧

.

(4)

Из этих определений следует, что

𝑑𝑟

𝑑𝘩_𝑚

=

𝑝_𝑚

𝑟

=

μ

_𝑚

,

(5)

𝑑𝑝_𝑛

𝑑𝘩_𝑚

=

λ

_𝑚𝑛

=

𝑑𝑝_𝑚

𝑑𝘩_𝑛

,

(6)

𝑑μ_𝑚

𝑑𝘩_𝑛

=

λ_𝑚𝑛-μ_𝑚μ_𝑛

𝑟

.

(7)

Если теперь предположить, что потенциал в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧), обусловленный особой точкой любого порядка, помещённой в начале координат, равен 𝐴ƒ(𝑥, 𝑦, 𝑧), то, если эту точку поместить на конце оси 𝘩, потенциал в точке (𝑥, 𝑦, 𝑧) будет

𝐴ƒ[

(𝑥-𝐿𝘩),

(𝑦-𝑀𝘩),

(𝑧-𝑁𝘩)

].

Если теперь такую же во всех отношениях особую точку, но с противоположным знаком 𝐴 поместить в начало координат, то потенциал, создаваемый обеими точками, будет равен

𝑉

=

𝐴ƒ[

(𝑥-𝐿𝘩),

(𝑦-𝑀𝘩),

(𝑧-𝑁𝘩)

]-

𝐴ƒ(𝑥,𝑦𝑧)

=

=

-𝐴𝘩

𝑑

𝑑𝘩

ƒ(𝑥,𝑦𝑧)

+ члены, содержащие

𝘩²

.

Если теперь 𝘩, неограниченно уменьшать, а 𝐴 неограниченно увеличивать, оставляя их произведение конечным и равным 𝐴', тогда предельное значение потенциала пары точек будет равно

𝑉

=

-𝐴'

𝑑

𝑑𝘩

ƒ(𝑥,𝑦𝑧)

.

(8)

Если ƒ(𝑥,𝑦𝑧) удовлетворяет уравнению Лапласа, то, поскольку оно линейное, функция 𝑉', являющаяся разностью двух функций, каждая из которых по отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, также должна удовлетворять этому уравнению.

129 в. Потенциал особой точки нулевого порядка

𝑉

₀

=

𝐴

₀

/𝑟

(9)

удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, любая функция, получающаяся из него последовательным дифференцированием по любому числу осей, также должна удовлетворять этому уравнению.

Точку первого порядка можно получить, взяв две точки нулевого порядка с равными, но противоположными по знаку зарядами -𝐴₀ и 𝐴₀ и поместив первую точку в начало координат, а вторую на конце оси 𝘩₁. Затем нужно неограниченно уменьшать 𝘩₁ и увеличивать 𝐴₀ так, чтобы их произведение 𝐴₀𝘩₁ было всё время равно 𝐴₁. Окончательным результатом такого процесса, соответствующим слиянию обеих точек, является точка первого порядка с моментом 𝐴₁ и осью 𝘩₁. Таким образом, точка первого порядка является двукратной. Её потенциал равен

𝑉

₁

=

-𝘩

₁

𝑑

𝑑𝘩₁

𝑉

₀

=

𝐴

₁

μ₁

𝑟²

.

(10)