Трактат об электричестве и магнетизме

Количество электричества на этой поверхности 𝑒₁𝑆σ и, согласно п. 79, действующая на единицу электричества сила равна 𝑅/2 так что полная сила, действующая на площадку 𝑆 и притягивающая её к другой плоскости, равна

𝐹

=

1

2

𝑅𝑆σ

=

1

8π

𝑅²𝑆

𝑆

8π

(𝐵-𝐴)²

𝑐²

.

Здесь сила притяжения выражена через площадь 𝑆, разность потенциалов обеих поверхностей 𝐴-𝐵 и расстояние между ними 𝑐. Через заряд 𝑒₁ и площадь 𝑆 сила притяжения выражается так: 𝐹=2π𝑒₁²/𝑆.

Электрическая энергия, обусловленная распределением электричества на площадке 𝑆 и на соответствующей ей площадке 𝑆' поверхности 𝐵, определяемой проектированием 𝑆 на поверхность 𝐵 системой силовых линий, которые в нашем случае перпендикулярны поверхности, равна

𝑊

=

1

2

(𝑒

₁

𝐴+𝑒

₂

𝐵)

, =

1

2

𝑆

4π

(𝐵-𝐴)²

𝑐²

, =

𝑅²

8π

𝑆𝑒

, =

=

2π

𝑆

𝑒

₁

²𝑐

, =

𝐹𝑐

.

Первое из этих выражений представляет собой общее выражение для электрической энергии (п. 84).

Второе выражение представляет энергию через площадь, расстояние и разность потенциалов.

Третье выражение представляет энергию через результирующую силу 𝑅 и объём 𝑆𝑐 заключённый между площадками 𝑆 и 𝑆', и показывает, что в единице объёма заключена энергия 𝑝 где 8π𝑝=𝑅².

Сила притяжения между плоскостями равна 𝑝𝑆 т.е., иными словами, на каждую единицу поверхности действует электрическое натяжение (или отрицательное давление), равное 𝑝.

Четвёртое выражение представляет энергию через заряд.

Пятое выражение показывает, что электрическая энергия равна работе, которую совершила бы электрическая сила, если бы обе поверхности сомкнулись, двигаясь параллельно самим себе при сохранении постоянной величины заряда на них.

Заряд выражается через разность потенциалов соотношением

𝑒

₁

=

1

4π

𝑆

𝑐

(𝐴-𝐵)

=

𝑞(𝐴-𝐵)

.

Коэффициент 𝑞 представляет заряд, обусловленный единичной разностью потенциалов. Этот коэффициент называется Ёмкостью поверхности 𝑆 обусловленной её расположением относительно противоположной поверхности.

Предположим теперь, что среда между обеими поверхностями уже не воздух, а какое-либо другое диэлектрическое вещество с удельной индуктивной способностью 𝐾. Тогда заряд, обусловленный заданной разностью потенциалов, будет в 𝐾 раз больше, чем в воздухе, т.е. 𝑒₁=𝐾𝑆(𝐴-𝐵)/4π𝑐.

Полная энергия будет равна

𝑊

=

𝐾𝑆

8π𝑐

(𝐴-𝐵)²

=

2π

𝐾𝑆

𝑒

₁

²𝑐

,

а сила между поверхностями

𝐹

=

𝑝𝑆

𝐾𝑆

8π

(𝐴-𝐵)²

𝑐²

=

2π

𝐾𝑆

𝑒

₁

²

.

Следовательно, сила между двумя поверхностями, поддерживаемыми при заданных потенциалах, меняется пропорционально удельной индуктивной способности диэлектрика 𝐾 а сила между двумя поверхностями с заданными зарядами меняется обратно пропорционально 𝐾.

Две концентрические сферические поверхности

125. Если две концентрические сферические поверхности радиусов 𝑎 и 𝑏, причём 𝑏 больше 𝑎, поддерживаются соответственно под потенциалами 𝐴 и 𝐵, то, очевидно, потенциал 𝑉 является функцией расстояния 𝑟 от их центра. В этом случае уравнение Лапласа принимает вид

𝑑²𝑉

𝑑𝑟²

+

2

𝑟

𝑑𝑉

𝑑𝑟

=

0.

Его решение 𝑉=𝐶₁+𝐶₂𝑟^-1, и из условия 𝑉=𝐴 при 𝑟=𝑎 и 𝑉=𝐵 при 𝑟=𝑏 следует, что в пространстве между сферическими поверхностями

𝑉

=

𝐴𝑎-𝐵𝑏

𝑎-𝑏

+

𝐴-𝐵

𝑎^-1-𝑏^-1

𝑟

^-1

,

𝑅

=

𝑑𝑉

𝑑𝑟

𝐴-𝐵

𝑎^-1-𝑏^-1

𝑟

^-2

.

Если σ₁ и σ₂, - поверхностные плотности на противолежащих поверхностях сплошного шара радиуса 𝑎 и сферической полости радиуса 𝑏, то

σ

₁

=

1

4π𝑎

𝐴-𝐵

𝑎^-1-𝑏^-1

,

σ

₂

=

1

4π𝑏

𝐵-𝐴

𝑎^-1-𝑏^-1

.

Если 𝑒₁ и 𝑒₂ - полные электрические заряды этих поверхностей, то

𝑒

₁

=

4π𝑎²σ

₁

=

𝐴-𝐵

𝑎^-1-𝑏^-1

=

-𝑒

₂

.

Следовательно, ёмкость сферы, окружённой сферической оболочкой, равна 𝑎𝑏/(𝑏-𝑎).

Если внешняя поверхность оболочки тоже сфера радиуса 𝑐, то при отсутствии других проводников поблизости заряд на внешней поверхности равен 𝑒₃=𝐵𝑐.

Таким образом, полный заряд на внутренней сфере равен

𝑒

₁

=

𝑎𝑏

𝑏-𝑎

(𝐴-𝐵)

,

а на внешней оболочке

𝑒

₂

+

𝑒

₃

=

𝑎𝑏

𝑏-𝑎

(𝐵-𝐴)

+

𝐵𝑐

.

Положив 𝑏=∞, мы получим случай сферы в бесконечном пространстве. Электрическая ёмкость такой сферы равна 𝑎 т.е. численно равна радиусу сферы.

Электрическое натяжение на внутренней сфере, приходящееся на единицу площади, равно

𝑝

=

1

8π

𝑏²

𝑎²

(𝐴-𝐵)²

(𝑏-𝑎)²

.

Результирующая сила, обусловленная этим натяжением, для полусферы равна π𝑎²𝑝=𝐹 и перпендикулярна основанию полусферы. Если она уравновешивается поверхностным натяжением, испытываемым по круговой границе полусферы с натяжением на единицу длины равным 𝑇 то 𝐹=2π𝑎𝑇.

Отсюда

𝐹

=

𝑏²

8

(𝐴-𝐵)²

(𝑏-𝑎)²

=

𝑒₁²

8𝑎²

,

𝑇

=

𝑏²

16π𝑎

(𝐴-𝐵)²

(𝑏-𝑎)²

.

Если сферический мыльный пузырь наэлектризовать до потенциала 𝐴 то при радиусе 𝑎 его заряд будет 𝐴𝑎 а поверхностная плотность заряда будет σ=𝐴/(4π𝑎).

Результирующая напряжённость у внешней поверхности равна 4πσ а внутри пузыря равна нулю, так что, согласно п. 79, электрическая сила, действующая на единицу поверхности, равна 2πσ, причём направлена она наружу. Следовательно, электризация уменьшает давление воздуха внутри пузыря на 2πσ², т. е. на 𝐴²/(8π𝑎²).

Но можно показать, что если 𝑇₀ натяжение в жидкой плёнке, передаваемое через линию единичной длины, то внутреннее давление, необходимое для удержания пузыря от охлопывания, равно 2𝑇₀/𝑎. Если электрической силы как раз достаточно для удержания пузыря в равновесии при одинаковом давлении воздуха вне и внутри пузыря, то 𝐴²=16π𝑎𝑇₀.