Трактат об электричестве и магнетизме

Если заряд в точке 𝑃 обозначить через 𝑃, а заряд в точке 𝑃_𝑠 - через 𝑃_𝑠, то

𝑃

_𝑠

=

𝑃𝑒

^ϖ

,

𝑄

_𝑠

=

-𝑃𝑒

^{-(𝑢+2𝑠ϖ)}

.

Пусть далее 𝑄'₁ - изображение 𝑃 во второй сфере, 𝑃'₁ - изображение 𝑄'₁ в первой сфере и т. д. Тогда

𝑂

𝑄'

₁

=

𝑏𝑒

^2ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

₁

=

𝑏𝑒

^𝑢-2ϖ

,

𝑂

𝑄'

₂

=

𝑏𝑒

^4ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

₂

=

𝑏𝑒

^𝑢-4ϖ

,

𝑂

𝑄'

_𝑠

=

𝑏𝑒

^2𝑠ϖ-𝑢

,

𝑂

𝑃'

_𝑠

=

𝑏𝑒

^𝑢-2𝑠ϖ

,

𝑄'

_𝑠

=

-𝑃𝑒

^𝑠ϖ-𝑢

,

𝑃'

_𝑠

=

𝑃𝑒

^-𝑠ϖ

.

Из этой серии изображений все 𝑃 - положительны, все 𝑄 - отрицательны, все 𝑃' и 𝑄 принадлежат первой сфере, а все 𝑃 и 𝑄' - второй.

Изображения внутри первой сферы образуют два сходящихся ряда, сумма которых равна

-𝑃

𝑒^ϖ-𝑢-1

𝑒^ϖ-1

.

Таково, следовательно, количество электричества на первой, внутренней сфере. Изображения вне второй сферы образуют два расходящихся ряда, но каждое из этих изображений даёт нулевой вклад в поверхностный интеграл по поверхности сферы. Поэтому электрический заряд на внешней сферической поверхности равен

𝑃

⎛

⎜

⎝

𝑒^ϖ-𝑢-1

𝑒^ϖ-1

-1

⎞

⎟

⎠

=

-𝑃

𝑒^ϖ-𝑒^ϖ-𝑢

𝑒^ϖ-1

.

Если подставить значения входящих сюда величин, выраженные через 𝑂𝐴, 𝑂𝐵 и 𝑂𝑃, получим

заряд на

𝐴

=

-𝑃

⋅

𝑂𝐴

𝑂𝑃

⋅

𝑃𝐵

𝐴𝐵

,

заряд на

𝐵

=

-𝑃

⋅

𝑂𝐵

𝑂𝑃

⋅

𝐴𝑃

𝐴𝐵

.

Если радиусы сфер устремить в бесконечность, мы придём к случаю точки, расположенной между двумя параллельными плоскостями 𝐴 и 𝐵. В этом случае выражения для зарядов принимают вид

заряд на

𝐴

=

-𝑃

⋅

𝑃𝐵

𝐴𝐵

,

заряд на

𝐵

=

-𝑃

⋅

𝐴𝑃

𝐴𝐵

.

172. Чтобы перейти от рассмотренного случая к случаю двух произвольных непересекающихся сфер, начнём с нахождения двух общих точек инверсии 𝐎 и 𝐎', через которые проходят все окружности, ортогональные обеим сферам. Произведя затем инверсию системы по отношению к одной из этих точек, мы переведём наши сферы в две концентрические сферы, рассмотренные выше.

Рис. 15

Если точку 𝐎 на рис. 15 принять за центр инверсии, то на рис. 14 она будет расположена где-то между двумя сферическими поверхностями.

Но в п. 171 мы решили задачу о точечном заряде, расположенном между двумя концентрическими проводниками, находящимися под нулевым потенциалом. Инвертируя эту систему по отношению к точке 𝐎, мы найдём, таким образом, распределения зарядов на двух сферических проводниках, находящихся под нулевым потенциалом и расположенных один вне другого, наводимые находящимся вблизи них точечным зарядом. В п. 173 будет показано, как использовать полученный результат для нахождения распределения на двух сферических заряженных проводниках, находящихся лишь под взаимным влиянием.

Радиус 𝑂𝐴𝑃𝐵 на рис. 14, на котором расположены последовательные изображения, переходит на рис. 15 в дугу окружности, проходящей через 𝐎 и 𝐎', причём отношение 𝐎'𝐏 к 𝐎𝐏 равно 𝐶𝑒^𝑢 где 𝐶 - численный множитель.

Если положить

θ

=

ln

𝐎'𝐏

𝐎𝐏

,

α

=

ln

𝐎'𝐀

𝐎𝐀

,

β

=

ln

𝐎'𝐁

𝐎𝐁

,

то β-α=ϖ, 𝑢+α=θ. Все последующие изображения точки 𝐏 будут лежать на дуге 𝑂'𝐴𝑃𝐵𝑂.

Для отображения 𝐐₀ точки 𝐏 в 𝐀

θ(𝐐

₁

)

=

ln

𝐎'𝐐₀

𝐎𝐐₀

=

2α-θ

.

Для отображения 𝐏₁ точки 𝐐₀ в 𝐁

θ(𝐏

₁

)

=

ln

𝐎'𝐏₁

𝐎𝐏₁

=

θ+2ϖ

.

Аналогично

θ(𝐏

_𝑠

)

=

θ+2𝑠ϖ

,

θ(𝐐

_𝑠

)

=

2α-θ-2𝑠ϖ

.

Точно так же, обозначая через 𝐐'₀, 𝐏'₁, 𝐐'₁ и т. д. последовательные изображения 𝐏 в 𝐁, 𝐀, 𝐁 и т.д., получим

θ(𝐐'

₀

)

=

2β-θ

,

θ(𝐏'

₁

)

=

θ-2ϖ

,

θ(𝐏'

_𝑠

)

=

θ-2𝑠ϖ

,

θ(𝐐'

_𝑠

)

=

2β-θ+2𝑠ϖ

.

Для нахождения заряда каждого изображения 𝐏_𝑠 учтём, что в инвертированной системе (рис. 14) его заряд равен

𝑃

⎛

⎜

⎝

𝑂𝑃_𝑠

𝑂𝑃

⎞½

⎟

⎠

.

В исходной системе (рис. 15) эту величину следует дополнительно умножить на 𝐎𝐏_𝑠. Следовательно, заряд в 𝐏_𝑠 на биполярной фигуре (поскольку 𝑃=𝐏/𝐎𝐏), равен

𝐏

⎛

⎜

⎝

𝐎𝐏_𝑠⋅𝐎'𝐏_𝑠

𝐎𝐏⋅𝐎'𝐏

⎞½

⎟

⎠

Положим ξ=√𝐎𝐏⋅𝐎'𝐏 и будем называть ξ параметром точки 𝐏 Тогда 𝐏_𝑠=(ξ_𝑠/ξ)𝐏, т. е. заряд каждого изображения пропорционален его параметру.

Если воспользоваться криволинейными координатами θ и φ так, что

𝑒

^θ+√1φ

=

𝑥++√1𝑦-𝑘

𝑥++√1𝑦+𝑘 

,

где 2𝑘-расстояние 𝑂𝑂' то ²

𝑥

=

-

𝑘 sh θ

ch θ-cos φ

,

𝑦

=

𝑘 sin θ

ch θ-cos φ

,

𝑥²

+

(𝑦-𝑘 ctg φ)²

=

𝑘²csc²φ

,

(𝑥+𝑘 cth θ)²

+

𝑦²

=

𝑘²csh²θ

,

ctg φ

=

𝑥²+𝑦²-𝑘²

2𝑘𝑦

,

cth θ

=

𝑥²+𝑦²+𝑘²

2𝑘𝑥

,

ξ

=

√2𝑘

√ch θ-cos φ 

.

² В этих выражениях следует помнить, что 2ch θ=𝑒^θ+𝑒^-θ, 2sh θ=𝑒^θ-𝑒^-θ, а другие функции от θ определены через эти так же, как и соответственные тригонометрические функции.

Метод использования биполярных координат в этом случае дан Томсоном в Liouville's Journal. 1847 г. См. работу Томсона в Electrical Papers, § 211, 212. В своём изложении я использовал исследования проф. Бетти (Nuovo Cimento, vol. XX) при изложении аналитического метода, однако я сохранил идею электрических изображений, применённую Томсоном В его оригинальных исследованиях (Phil. Mag., 1853).

Поскольку заряд каждого изображения пропорционален его параметру ξ а знак его зависит от того, относится ли изображение к типу 𝐏 или к типу 𝐐, то

𝐏

_𝑠

=

𝐏√ch θ-cos φ

√ch(θ+2𝑠ϖ)-cos φ

,

𝐐

_𝑠

=

-

𝐏√ch θ-cos φ

√ch(2α-θ-2𝑠ϖ)-cos φ

,

𝐏'

_𝑠

=

𝐏√ch θ-cos φ

√ch(θ-2𝑠ϖ)-cos φ

,

𝐐'

_𝑠

=

-

𝐏√ch θ-cos φ

√ch(2β-θ+2𝑠ϖ)-cos φ

.

Таким образом, мы нашли положения и величины зарядов для обеих бесконечных последовательностей изображений. Теперь нам остаётся определить полный заряд на сфере 𝐀, просуммировав все изображения типа 𝐐 и 𝐏' расположенные внутри сферы. Эти суммы можно записать в виде

𝐏√

ch θ-cos φ

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

√ch(θ-2𝑠ϖ)-cos φ

,

-

𝐏√

ch θ-cos φ

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

√ch(2α-θ-2𝑠ϖ)-cos φ

.