Трактат об электричестве и магнетизме

Аналогично полный заряд, индуцированный на 𝐵, равен

𝐏√

ch θ-cos φ

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

√ch(θ+2𝑠ϖ)-cos φ

,

-

𝐏√

ch θ-cos φ

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

√ch(2β-θ+2𝑠ϖ)-cos φ

.

173. Применим эти результаты для нахождения коэффициентов ёмкости и индукции для двух сфер радиусов 𝑎 и 𝑏 с расстоянием между центрами 𝑐.

Пусть сфера 𝐴 находится под единичным потенциалом, а сфера 𝐵 - под нулевым потенциалом. Тогда последовательные изображения заряда 𝑎, помещённого в центре сферы 𝐴 дадут истинное распределение электричества. Все изображения будут лежать на оси между полюсами и центрами сфер, причём, как легко видеть, из четырёх систем изображений, определённых в п. 172, в этом случае существует только третья и четвёртая.

Полагая

𝑘

=

√𝑎⁴+𝑏⁴+𝑐⁴-2𝑏²𝑐²-2𝑐²𝑎²-2𝑎²𝑏²

2𝑐

,

получим

sh α=-

𝑘

𝑎

, sh β=

𝑘

𝑏

.

Значения θ и φ для центра сферы 𝐴 равны θ=2α, φ=0.

Таким образом, мы должны в уравнениях заменить 𝐏 на 𝑎 или -𝑘/sh α, θ - на 2α, φ - на 0, имея в виду, что само 𝐏 является частью заряда сферы 𝐴. Таким образом, для коэффициента ёмкости сферы 𝐴 получаем

𝑞

_𝑎𝑎

=

𝑘

𝑠=∞

∑

𝑠=0

1

sh(𝑠ϖ-α)

,

а для коэффициента индукции 𝐴 на 𝐵 или 𝐵 на 𝐴

𝑞

_𝑎𝑏

=

-𝑘

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

sh 𝑠ϖ

.

Таким же способом можно было бы, считая потенциал 𝐵 единичным, а потенциал 𝐴 - нулевым, найти значение 𝑞_𝑏𝑏. В принятых обозначениях мы получили бы следующее выражение:

𝑞

_𝑏𝑏

=

𝑘

𝑠=∞

∑

𝑠=0

1

sh(β+𝑠ϖ)

.

Чтобы выразить эти величины через радиусы сфер 𝑎 и 𝑏 и через расстояние между их центрами 𝑐, заметим, что если ввести обозначение

𝐾

=

√

𝑎

⁴

+𝑏

⁴

+𝑐

⁴

-2𝑏

²

𝑐

²

-2𝑐

²

𝑎

²

-2𝑎

²

𝑏

²

,

то можно написать

sh α

=-

𝐾

2𝑎𝑐

,

sh β

=

𝐾

2𝑏𝑐

,

sh ϖ

=

𝐾

2𝑎𝑏

,

ch α

=

𝑐²+𝑎²-𝑏²

2𝑐𝑎

,

ch β

=

𝑐²+𝑏²-𝑎²

2𝑐𝑏

,

ch ϖ

=

𝑐²-𝑎²-𝑏²

2𝑎𝑏

и использовать соотношения

sh(α+β)

=

sh α ch β

+

ch α sh β

,

ch(α+β)

=

ch α ch β

+

sh α sh β

.

С помощью этих соотношений или же непосредственно рассчитывая последовательные изображения, как это сделано в работе сэра У. Томсона, получим

𝑞

_𝑎𝑎

=

𝑎

+

𝑎²𝑏

𝑐²-𝑏²

+

𝑎³𝑏²

(𝑐²-𝑏²+𝑎𝑐)(𝑐²-𝑏²-𝑎𝑐)

+…

𝑞

_𝑎𝑏

=

-

𝑎𝑏

𝑐

-

𝑎²𝑏²

𝑐(𝑐²-𝑎²-𝑏²)

-

𝑎³𝑏³

𝑐(𝑐²-𝑎²-𝑏²+𝑎𝑏)(𝑐²-𝑎²-𝑏²-𝑎𝑏)

-…

𝑞

_𝑏𝑏

=

𝑏

+

𝑎𝑏²

𝑐²-𝑎²

+

𝑎²𝑏³

(𝑐²-𝑎²+𝑏𝑐)(𝑐²-𝑎²-𝑏𝑐)

+…

174. Для определения зарядов 𝐸_𝑎 и 𝐸_𝑏 двух сфер, наэлектризованных соответственно до потенциалов 𝑉_𝑎 и 𝑉_𝑏, мы имеем следующие уравнения:

𝐸

_𝑎

=

𝑉

_𝑎

𝑞

_𝑎𝑎

+

𝑉

_𝑏

𝑞

_𝑏𝑏

,

𝐸

_𝑏

=

𝑉

_𝑎

𝑞

_𝑎𝑏

+

𝑉

_𝑏

𝑞

_𝑏𝑏

Если положить

𝑞

_𝑎𝑎

𝑞

_𝑏𝑏

-

𝑞

_𝑎𝑏

²

=

𝐷

=

1

𝐷'

,

и

𝑝

_𝑎𝑎

=

𝑞

_𝑏𝑏

𝐷'

,

𝑝

_𝑎𝑏

=

-

𝑞

_𝑎𝑏

𝐷'

,

𝑝

_𝑏𝑏

=

𝑞

_𝑎𝑎

𝐷'

,

так что

𝑝

_𝑎𝑎

𝑝

_𝑏𝑏

-

𝑝

_𝑎𝑏

²

=

𝐷'

,

то уравнения для определения потенциалов через заряды будут иметь вид

𝑉

_𝑎

=

𝑝

_𝑎𝑎

𝐸

_𝑎

+

𝑝

_𝑎𝑏

𝐸

_𝑏

,

𝑉

_𝑏

=

𝑝

_𝑎𝑏

𝐸

_𝑎

+

𝑝

_𝑏𝑏

𝐸

_𝑏

.

где 𝑝_𝑎𝑎, 𝑝_𝑎𝑏 и 𝑝_𝑏𝑏 - коэффициенты потенциала.

Полная энергия системы равна, согласно п. 85,

𝑄

=

½(

𝐸

_𝑎

𝑉

_𝑎

+

𝐸

_𝑏

𝑉

_𝑏

)

=

½(

𝑉

_𝑎

²

𝑞

_𝑎𝑎

+2

𝑉

_𝑎

𝑉

_𝑏

𝑞

_𝑎𝑏

+

𝑉

_𝑏

²

𝑞

_𝑏𝑏

)

=

½(

𝐸

_𝑎

²

𝑝

_𝑎𝑎

+2

𝐸

_𝑎

𝐸

_𝑏

𝑝

_𝑎𝑏

+

𝐸

_𝑏

²

𝑝

_𝑏𝑏

)

Сила расталкивания между сферами равна, таким образом, согласно пп. 92, 93,

𝐹

=

½

⎧

⎨

⎩

𝑉

_𝑎

²

𝑑𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑐

+2

𝑉

_𝑎

𝑉

_𝑏

𝑑𝑞_𝑎𝑏

𝑑𝑐

+

𝑉

_𝑏

²

𝑑𝑞_𝑏𝑏

𝑑𝑐

⎫

⎬

⎭

=

-

½

⎧

⎨

⎩

𝐸

_𝑎

²

𝑑𝑝_𝑎𝑎

𝑑𝑐

+2

𝐸

_𝑎

𝐸

_𝑏

𝑑𝑝_𝑎𝑏

𝑑𝑐

+

𝐸

_𝑏

²

𝑑𝑝_𝑏𝑏

𝑑𝑐

⎫

⎬

⎭

,

где 𝑐 - расстояние между центрами сфер.

Из приведённых двух выражений силы расталкивания более удобно для расчётов первое выражение, в котором сила выражена через потенциалы сфер и коэффициенты ёмкости и индукции.

Таким образом, нам нужно дифференцировать коэффициенты 𝑞 по 𝑐. Эти коэффициенты выражены как функции от 𝑘 α, β, ϖ, причём при дифференцировании следует считать 𝑎 и 𝑏 постоянными. Из уравнений

𝑘

=

-𝑎 sh α

=

𝑏 sh β

=

-𝑐

sh α⋅sh β

sh ϖ

находим

𝑑𝑘

𝑑𝑐

=-

ch α⋅ch β

sh ϖ

,

𝑑α

𝑑𝑐

=

sh α⋅sh β

𝑘 sh ϖ

,

𝑑β

𝑑𝑐

=

ch α⋅sh β

𝑘 sh ϖ

,

𝑑ϖ

𝑑𝑐

=

1

𝑘

,

откуда

𝑑𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑐

=

ch α⋅ch β

sh ϖ

⋅

𝑞_𝑎𝑎

𝑘

-

𝑠=∞

∑

𝑠=0

(𝑠𝑐+𝑏 ch β) ch(𝑠ϖ-α)

𝑐(sh (𝑠ϖ-α))²

,

𝑑𝑞_𝑎𝑏

𝑑𝑐

=

ch α⋅ch β

sh ϖ

⋅

𝑞_𝑎𝑏

𝑘

+

𝑠=∞

∑

𝑠=1

𝑠 ch 𝑠ϖ

(sh 𝑠ϖ)²

,

𝑑𝑞_𝑏𝑏

𝑑𝑐

=

ch α⋅ch β

sh ϖ

⋅

𝑞_𝑏𝑏

𝑘

-

𝑠=∞

∑

𝑠=0

(𝑠𝑐+𝑎 ch α) ch(𝑠ϖ+β)

𝑐(sh (𝑠ϖ+β))²

.

Сэр Уильям Томсон рассчитал силу между двумя сферами равного радиуса, находящимися на произвольном расстоянии, не превышающем диаметра одной из сфер. Для больших расстояний нет необходимости использовать больше двухтрех последовательных изображений.

Ряды для производных 𝑞 по 𝑐 могут быть легко получены прямым дифференцированием

𝑑𝑞_𝑎𝑎

𝑑𝑐

=

-

2𝑎²𝑏𝑐

(𝑐²-𝑏²)²

-

2𝑎³𝑏²𝑐(2𝑐²-2𝑏²-𝑎²)

(𝑐²-𝑏²+𝑎𝑐)²(𝑐²-𝑏²-𝑎𝑐)²

-…

𝑑𝑞_𝑎𝑏

𝑑𝑐

=

𝑎𝑏

𝑐²

+

𝑎²𝑏²(3𝑐²-𝑎²-𝑏²)

𝑐²(𝑐²-𝑎²-𝑏²)²

+

+

𝑎³𝑏³{(5𝑐²-𝑎²-𝑏²)(𝑐²-𝑎²-𝑏²)-𝑎²𝑏²}

𝑐²(𝑐²-𝑎²-𝑏²+𝑎𝑏)²(𝑐²-𝑎²-𝑏²-𝑎𝑏)²

+…

𝑑𝑞_𝑏𝑏

𝑑𝑐

=

-

2𝑎𝑏²𝑐

(𝑐²-𝑎²)²

-

2𝑎²𝑏³𝑐(2𝑐²-2𝑎²-𝑏²)

(𝑐²-𝑎²+𝑏𝑐)²(𝑐²-𝑎²-𝑏𝑐)²

-…

Распределение электричества на двух соприкасающихся сферах

175. Если рассмотреть две такие сферы при единичном потенциале, на которые не воздействуют никакие другие заряды, то при инверсии системы по отношению к точке соприкосновения мы получим две параллельные плоскости, отстоящие на расстоянии 1/(2𝑎) и 1/(2𝑏) от точки инверсии, электризация которых определяется действием положительного единичного заряда, находящегося в этой точке.

Возникнет последовательность положительных изображений с единичным зарядом на расстояниях 𝑠(1/𝑎+1/𝑏) от начала координат, где 𝑠 может принимать все целые значения от -∞ до +∞.

Кроме того, будет и последовательность отрицательных изображений с зарядом -1, расстояние которых от начала координат, отсчитываемое в направлении 𝑎 равно

1

𝑎

+

𝑠

⎛

⎜

⎝

1

𝑎

+

1

𝑏

⎞

⎟

⎠

.