Трактат об электричестве и магнетизме

Произведём инверсию чаши по отношению к 𝑄, приняв радиус сферы инверсии равным 𝑅. Чаша 𝑆 перейдёт в своё изображение 𝑆', а точка 𝑃 -в своё изображение 𝑃'. Нам нужно определить плотность σ' в 𝑃' для чаши 𝑆', поддерживаемой под потенциалом 𝑉', таким, что 𝑞=𝑉'𝑅, и не подверженной внешним влияниям.

Плотность σ в точке 𝑃 первоначальной чаши будет равна σ=-(σ'𝑅³/𝑄𝑃³). причём эта чаша будет находиться под нулевым потенциалом и под воздействием количества электричества 𝑞, помещённого в точку 𝑄.

Такая процедура приводит к следующему результату.

Рис. 16

Пусть рис. 16 представляет собой сечение сферы через центр 𝑂 полюс чаши 𝐶 и индуцирующий точечный заряд 𝑄. Точка 𝐷 соответствует в инвертируемой фигуре незанятому полюсу ободка чаши и может быть найдена следующим построением.

Проведём через 𝑄 хорды 𝐸𝑄𝐸' и 𝐹𝑄𝐹' Если принять радиус инверсии сферы равным среднему геометрическому между отрезками, на которые делится хорда в точке 𝑄, то 𝐸'𝐹' будет изображением 𝐸𝐹. Пусть точка 𝐷' делит дугу 𝐹'𝐶𝐸' пополам, так что 𝐹'𝐷' равно 𝐷'𝐸'. Проведём прямую 𝐷'𝑄𝐷 до пересечения со сферой в точке 𝐷. Эта точка 𝐷 и является искомой. Проведём также через центр сферы 𝑂 и точку 𝑄 прямую 𝐻𝑂𝑄𝐻, пересекающуюся со сферой в точках 𝐻 и 𝐻'. Тогда для любой точки 𝑃 на чаше наводимая количеством электричества 𝑞 в точке 𝑄 поверхностная плотность на той стороне, которая отделена от 𝑄 дополняющей чашу сферической поверхностью, будет равна

σ

=

𝑞

2π²

𝑄𝐻⋅𝑄𝐻'

𝐻𝐻'⋅𝑃𝑄³

⎧

⎨

⎩

𝑃𝑄

𝐷𝑄

⎛

⎜

⎝

𝐶𝐷²-𝑎²

𝑎²-𝐶𝑃²

⎞½

⎟

⎠

-

-

arctg

⎡

⎢

⎣

𝑃𝑄

𝐷𝑄

⎛

⎜

⎝

𝐶𝐷²-𝑎²

𝑎²-𝐶𝑃²

⎞½

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

⎫

⎬

⎭

,

где 𝑎 означает хорду, проведённую из полюса чаши 𝐷 до ободка чаши. На ближайшей к 𝑄 стороне поверхностная плотность равна

σ

+

𝑞

2π²

𝑄𝐻⋅𝑄𝐻'

𝐻𝐻'⋅𝑃𝑄³

.

ГЛАВА XII

ТЕОРИЯ СОПРЯЖЁННЫХ ФУНКЦИЙ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ

182. Число независимых случаев, в которых решена задача электрического равновесия, весьма невелико. Для сферических проводников развит метод сферических гармоник. Ещё более мощными являются методы электрических изображений и инверсии в тех случаях, когда они применимы. Случай поверхностей второго порядка, насколько я знаю, - единственный, для которого известны и эквипотенциальные поверхности, и силовые линии, причём силовые линии не являются плоскими кривыми.

Но существует важный класс задач в теории электрического равновесия и в теории прохождения тока, в которых рассматривается лишь двумерное пространство.

Так, например, если всюду в рассматриваемой части электрического поля и на значительном расстоянии вне её поверхности всех проводников образованы движением прямых линий, параллельных оси 𝑧, а та часть поля, где это не имеет места, настолько удалена от рассматриваемой части, что её электрическим действием можно пренебречь, то электричество будет равномерно распределено вдоль всех образующих, и если рассмотреть участок поля, ограниченный двумя плоскостями, перпендикулярными оси 𝑧 и находящимися на единичном расстоянии, то потенциал и распределение электричества будут функцией лишь от 𝑥 и 𝑦.

Пусть ρ𝑑𝑥𝑑𝑦 - количество электричества в элементе объёма с площадью основания 𝑑𝑥𝑑𝑦 и единичной высотой, a σ𝑑𝑠 - количество электричества на элементе площади с основанием 𝑑𝑠 и единичной высотой. Тогда уравнение Пуассона можно написать в виде

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

4πρ

=

0.

При отсутствии свободных зарядов оно сводится к уравнению Лапласа

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

=

0.

Общая задача электрического равновесия может быть сформулирована следующим образом.

Задана непрерывная двумерная область, ограниченная замкнутыми кривыми 𝐶₁, 𝐶₂ и т. д. Найти вид такой функции 𝑉, которая на этих границах принимает соответственно значения 𝑉₁, 𝑉₂ и т. д., постоянные на каждой границе, а внутри области всюду конечна, непрерывна, однозначна и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Мне неизвестно, было ли дано какое-либо совершенно общее решение даже для этой задачи, но в этом случае применим приводимый в п. 190 метод преобразования, значительно более мощный, чем любой известный нам метод решения для трёх измерений.

Этот метод основан на свойствах сопряжённых функций двух переменных.

Определение сопряжённых функций

183. Величины α и β называются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦, если α+√-1β является функцией от 𝑥+√-1𝑦.

Из этого определения следует, что

𝑑α

𝑑𝑥

=

𝑑β

𝑑𝑦

и

𝑑α

𝑑𝑦

+

𝑑β

𝑑𝑥

=

0,

(1)

𝑑²α

𝑑𝑥²

+

𝑑²α

𝑑𝑦²

=

0,

𝑑²β

𝑑𝑥²

+

𝑑²β

𝑑𝑦²

=

0.

(2)

Таким образом, обе функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Кроме того,

𝑑α

𝑑𝑥

𝑑β

𝑑𝑦

-

𝑑α

𝑑𝑦

𝑑β

𝑑𝑥

=

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑α

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎝

𝑑β

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑β

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

=

𝑅².

(3)

Если 𝑥 и 𝑦 -прямоугольные координаты, 𝑑𝑠₁ -отрезок кривой (β=const) между кривыми (α) и (α+𝑑α) , a 𝑑𝑠₂ - отрезок кривой α между кривыми (β) и (β+𝑑β), то

-

𝑑𝑠₁

𝑑α

=

𝑑𝑠₂

𝑑β

=

1

𝑅

,

(4)

и кривые пересекаются под прямым углом.