Трактат об электричестве и магнетизме

Этот потенциал эквивалентен потенциалу, возникающему от комбинации заряда 𝐸 в точке 𝐴' и заряда -𝐸 в точке 𝑂, являющейся изображением точки 𝐴' по отношению к окружности. Таким образом, заряд изображения в точке 𝑂 равен и противоположен заряду в точке 𝐴'.

Если точка 𝑃' определена своими полярными координатами, отнесёнными к центру окружности, то, положив ρ=ln 𝑟-ln 𝑏, ρ₀=ln 𝐴𝐴'-ln 𝑏, получим

𝐴𝑃'

=

𝑏𝑒

^ρ

,

𝐴𝐴'

=

𝑏𝑒

^ρ₀

,

𝐴𝑂

=

𝑏𝑒

^-ρ₀

,

(10)

и потенциал в точке (ρ,θ) равен

φ

=

𝐸 ln

(

𝑒

^-2ρ₀

-2

𝑒

^-ρ₀

𝑒

^ρ

cos θ

+

𝑒

^2ρ

)

-

-

𝐸 ln

(

𝑒

^2ρ₀

-2

𝑒

^ρ₀

𝑒

^ρ

cos θ

+

𝑒

^2ρ

)

+

2𝐸

ρ

₀

.

(11)

Этоc потенциал в точке (ρ,θ), обязанный заряду 𝐸, помещённому в точку (ρ,0), причём φ=0, когда ρ=0.

В этом случае ρ и θ - сопряжённые функции в уравнении (5): ρ - логарифм отношения радиус-вектора точки к радиусу окружности, а θ - угол.

Центр является единственной особой точкой в этой системе координат, так что линейный интеграл ∫(𝑑θ/𝑑𝑠)𝑑𝑠 по замкнутой кривой равен 2π или 0 в зависимости от того, охватывает кривая центр или не охватывает.

Пример III. Преобразование Нейманна для этого случая ¹

¹ См. Crelle's Journal, LIX, p.335, 1861, а также Schwarz Crelle, LXXIV, p. 218 1872.

190. Пусть теперь α и β - любые сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦, такие, что кривые (α) являются эквипотенциальными кривыми, а кривые (β) - силовыми линиями, обусловленными зарядом с линейной плотностью в половину единицы заряда, расположенным в начале координат, и заряженной системой, расположенной произвольным образом на некотором расстоянии от начала координат.

Предположим, что кривая, для которой потенциал равен α₀, является замкнутой, причём ни одна часть заряженной системы не расположена внутри неё, за исключением половины единичного заряда в начале координат.

Тогда все кривые (α), расположенные между этой кривой и началом координат, будут замкнутыми кривыми, охватывающими начало координат, а все кривые (β) встречаются в начале координат и перпендикулярны кривым (α).

Координаты произвольной точки внутри кривой (α₀) определяются значениями α и β в этой точке, причём при перемещении точки вдоль одной из кривых (α) в положительном направлении значение β увеличивается на 2π при полном обходе кривой.

Предположим теперь, что кривая (α₀) является сечением внутренней поверхности полого цилиндра произвольной формы, поддерживаемого при нулевом потенциале и находящегося под влиянием заряда с линейной плотностью 𝐸, расположенного на прямой, представляемой началом координат. При этом внешнюю заряженную систему можно не учитывать, потенциал в произвольной точке (α) внутри кривой равен

φ

=

2𝐸

(α-α

₀

),

(12)

а количество электричества на любом отрезке кривой (α₀) ограниченной точками соответствующими β₁ и β₂, равно

𝑄

=

1

2π

𝐸

(β

₁

-β

₂

).

(13)

Если мы таким образом или как-нибудь иначе определили распределение потенциала для кривой данной формы с зарядом, расположенным в данной точке, принятой за начало координат, то мы можем перейти к случаю, когда заряд расположен в любой другой точке внутри кривой, применив общий метод преобразования.

Пусть значения α и β для точки, в которой помещён заряд, равны α₁ и β₁. Подставляя в уравнение (11) α-α₀ вместо ρ, α₁-α₀ вместо ρ₀ (поскольку оба выражения обращаются в нуль на поверхности α=α₀) и β-β₁ вместо θ, получим для потенциала в произвольной точке с координатами α и β

φ

=

𝐸 ln

(

1

-

2𝑒

^{α+α₁-2α₀}

cos(β-β

₁

)

+

𝑒

^{2(α+α₁-2α₀)}

)-

-𝐸 ln

(

1

-

2𝑒

^α-α₁

cos(β-β

₁

)

+

𝑒

^2(α-α₁)

)

-2𝐸

(α

₁

-α

₀

)

.

(14)

Это выражение для потенциала обращается в нуль при α=α₀ конечно и непрерывно внутри кривой α₀, за исключением точки (α₁,β₁), в которой второе слагаемое обращается в бесконечность, причём в окрестности этой точки это слагаемое в пределе равно 2𝐸 ln 𝑟' где 𝑟' - расстояние от этой точки.

Таким образом, мы нашли способ нахождения решения задачи Грина для заряда, находящегося в любой точке внутри замкнутой кривой, если известно решение для какой-либо другой точки.

Заряд на элементе кривой α₀ между точками β и β+𝑑β наводимый зарядом 𝐸, помещённым в точку (α₁,β₁) равен в обозначениях п. 183

-

1

4π

𝑑φ

𝑑𝑠₁

𝑑𝑠

₂

,

где 𝑑𝑠₁ отсчитывается внутрь, а α после дифференцирования полагается равным α₀.

Согласно (4) из п. 183, это равно

1

4π

𝑑φ

𝑑α

𝑑β

,

(α=α

₀

); т.е.

-

𝐸

2π

1-𝑒^{2(α₁-α₀)}

1-2𝑒^{(α₁-α₀)}cos(β-β₁)+𝑒^2(α₁-α₀)

𝑑β.

(15)

Это выражение позволяет найти потенциал в произвольной точке (α₁,β₁) внутри замкнутой кривой, если в каждой точке этой кривой потенциал задан как функция β при условии, что внутри замкнутой кривой нет зарядов.

Действительно, согласно п. 86, часть потенциала в точке (α₁,β₁), обусловленная наличием потенциала 𝑉 на участке 𝑑β замкнутой кривой, равна 𝑛𝑉, где 𝑛 - заряд, наводимый на 𝑑β единичным зарядом в (α₁,β₁). Таким образом, если 𝑉 - потенциал в точке замкнутой кривой, заданный как функция β, а φ - потенциал в точке (α₁,β₁) внутри замкнутой кривой, не содержащей внутри зарядов, то

φ

=

1

2π

2π

∫

0

(1-𝑒^{2(α₁-α₀)})𝑉𝑑β

1-2𝑒^{(α₁-α₀)}cos(β-β₁)+𝑒^2(α₁-α₀)

.

(16)