Трактат об электричестве и магнетизме

Пусть 𝑥' и 𝑦' приняты за прямоугольные координаты и на чертеже построены кривые, соответствующие значениям 𝑥'' и 𝑦'', взятым в арифметической прогрессии. Мы получим, таким образом, два семейства кривых, разбивающих чертёж на квадратики. Построим также на чертеже горизонтальные и вертикальные прямые на равных расстояниях друг от друга, пометив их соответствующими значениями 𝑥' и 𝑦'.

Пусть теперь на другом чертеже 𝑥 и 𝑦 приняты за прямоугольные координаты и построено два семейства кривых 𝑥', 𝑦', помеченных соответствующими значениями 𝑥' и 𝑦'. Эта система криволинейных координат будет однозначно соответствовать прямоугольной системе координат 𝑥', 𝑦' на первом чертеже.

Таким образом, если взять произвольное число точек на кривой 𝑥'' первого чертежа, заметить значения 𝑥' и 𝑦' в этих точках и отметить соответствующие точки на втором чертеже, то мы получим ряд точек преобразованной кривой 𝑥''. Если проделать такое построение для всех кривых 𝑥'' и 𝑦'' первого чертежа, то на втором чертеже получится два семейства кривых 𝑥'', 𝑦'' отличающихся от прежних, но обладающих тем же свойством разбиения чертежа на квадратики.

186.Теорема III.Если 𝑉 - произвольная функция от 𝑥' и 𝑦, а 𝑥' и 𝑦' - сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦, то

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

=

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

,

где интегрирование справа и слева производится в соответствующих пределах.

Действительно,

𝑑𝑉

𝑑𝑥

=

𝑑𝑉

𝑑𝑥'

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

+

𝑑𝑉

𝑑𝑦'

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

,

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

=

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+2

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'𝑑𝑦'

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

+

𝑑𝑉

𝑑𝑥'

𝑑²𝑥'

𝑑𝑥²

+

𝑑𝑉

𝑑𝑦'

𝑑²𝑦'

𝑑𝑥²

,

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

=

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+2

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'𝑑𝑦'

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

+

𝑑𝑉

𝑑𝑥'

𝑑²𝑥'

𝑑𝑦²

+

𝑑𝑉

𝑑𝑦'

𝑑²𝑦'

𝑑𝑦²

.

Складывая два последних уравнения и учитывая условие (1) для сопряжённых функций, получим

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

=

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

=

=

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

-

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

,

откуда

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

=

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎞

⎟

⎠

×

×

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑥'

𝑑𝑥

𝑑𝑦'

𝑑𝑦

-

𝑑𝑥'

𝑑𝑦

𝑑𝑦'

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

=

∬

⎛

⎜

⎝

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥'

𝑑𝑦'

.

Если 𝑉 - потенциал, то, согласно уравнению Пуассона

𝑑²𝑉

𝑑𝑥²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦²

+

4πρ

=

0,

так что ∬ρ𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦', т.е. количество электричества в соответствующих участках обеих систем одинаково, если координаты одной системы являются сопряжёнными функциями координат другой системы.

Дополнительные теоремы о сопряжённых функциях

187.Теорема IV.Если 𝑥₁ и 𝑦₁ а также 𝑥₂ и 𝑦₂ являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦, а 𝑋=𝑥₁𝑥₂-𝑦₁𝑦₂ и 𝑌=𝑥₁𝑦₂-𝑥₂𝑦₁, то 𝑋 и 𝑌 - сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦.

Действительно,

𝑋

+

√

-1

𝑌

=

(𝑥

₁

+√

-1

+𝑦

₁

)

(𝑥

₂

+√

-1

+𝑦

₂

)

.

Теорема V.Если φ - решение уравнения

𝑑²φ

𝑑𝑥²

+

𝑑²φ

𝑑𝑦²

=

0, а

2𝑅

=

ln

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑φ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

и Θ

=-

arctg

𝑑φ/𝑑𝑥

𝑑φ/𝑑𝑦

,

то 𝑅 и Θ - сопряжённые функции от 𝑥 и 𝑦.

Действительно, 𝑅 и Θ - сопряжённые функции от 𝑑φ/𝑑𝑦 и 𝑑φ/𝑑𝑥 а последние являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦.

Пример I. Инверсия.

188. В качестве примера общего метода преобразования возьмём случай инверсии в двух измерениях.

Пусть 𝑂 - фиксированная точка в плоскости, 𝑂𝐴 - фиксированное направление, 𝑟=𝑂𝑃=𝑎𝑒^ρ 𝐴𝑂𝑃, 𝑥 и 𝑦 - прямоугольные координаты точки 𝑃 относительно 𝑂. Тогда

ρ

=

ln

√𝑥²+𝑦²

𝑎

,

θ

=

arctg

𝑦

𝑥

,

𝑥

=

𝑎𝑒

^ρ

cos θ

,

𝑦

=

𝑎𝑒

^ρ

sin θ

,

(5)

так что ρ и θ являются сопряжёнными функциями от 𝑥 и 𝑦.

Если ρ'=𝑛ρ и θ'=𝑛θ, то ρ' и θ' будут сопряжёнными функциями от ρ и θ. При 𝑛=-1

𝑟'

=

𝑎²

𝑟

 и

θ

=

-θ

,

(6)

т.е. мы имеем дело с обычной инверсией в сочетании с поворотом на 180° от направления 𝑂𝐴.

Инверсия в двух измерениях

Пусть в этом случае 𝑟 и 𝑟' представляют собой расстояния соответствующих точек от 𝑂, 𝑒 и 𝑒' - полную электризацию тела, 𝑆 и 𝑆' -элементы поверхности, 𝑉 и 𝑉' - элементы объёма, σ и σ' - поверхностные плотности, ρ и ρ' - объёмные плотности, φ и φ' - соответствующие потенциалы. Тогда

𝑟'

𝑟

=

𝑆'

𝑆

=

𝑎²

𝑟²

=

𝑟'²

𝑎²

,

𝑉'

𝑉

=

𝑎⁴

𝑟⁴

=

𝑟'⁴

𝑎⁴

,

𝑒'

𝑒

=

1,

σ'

σ

=

𝑟²

𝑎²

=

𝑎²

𝑟'²

,

ρ'

ρ

=

𝑟⁴

𝑎⁴

=

𝑎⁴

𝑟'⁴

,

(7)

и, поскольку, по предположению, φ' получается из φ выражением старых переменных через новые,

φ'

φ

=

1.

(7')

Пример II. Электрические изображения в двух измерениях

Рис. 17

189. Пусть 𝐴 - центр окружности радиуса 𝐴𝑄=𝑏 [рис. 17], находящейся при нулевом потенциале, а 𝐸 - заряд в точке 𝐴. Тогда потенциал в точке 𝑃 равен

φ

=

2𝐸

ln

𝑏

𝐴𝑃

;

(8)

и если окружность представляет собой сечение полого проводящего цилиндра, то поверхностная плотность в произвольной точке 𝑄 равна -𝐸/(2π𝑏).

Произведём инверсию этой системы относительно точки 𝑂, приняв 𝐴𝑂=𝑚𝑏, 𝑎²=(𝑚²-1)𝑏². Тогда окружность инвертируется сама в себя и мы получаем заряд в 𝐴', равный заряду 𝐴, причём 𝐴𝐴'=(𝑏/𝑚).

Плотность в точке 𝑄' равна

𝐸

2π𝑏

𝑏²-𝐴𝐴'²

𝐴'𝑄'²

,

а потенциал в произвольной точке 𝑃' внутри окружности равен

φ'

=

φ

=

2𝐸(ln 𝑏-ln 𝐴𝑃)

=

=

2𝐸(ln 𝑂𝑃'-ln 𝐴'𝑃'-ln 𝑚)

.

(9)