Трактат об электричестве и магнетизме

Если 𝑥' и 𝑦' - прямоугольные координаты, то свойства оси 𝑥 на первой фигуре переносятся на последовательность кривых, параллельных 𝑥', на второй фигуре, для которых 𝑦'=𝑏𝑛'π, где 𝑛' - произвольное целое число. Положительные значения 𝑥' на этих кривых будут соответствовать значениям 𝑥, большим единицы, для которых, как мы уже видели,

ψ

=

𝑛π

,

φ

=

ln(𝑥+√

𝑥²-1

)

=

ln(𝑒

^𝑥'/𝑏

+√

𝑒

^{(2𝑥'/𝑏)}

-1

)

.

(7)

Отрицательные значения 𝑥' на тех же кривых будут соответствовать значениям 𝑥, меньшим единицы, для которых, как мы видели,

φ

=

0,

ψ

=

arccos 𝑥

=

arccos 𝑒

^(𝑥'/𝑏)

.

(8)

Свойства оси 𝑦 на первой фигуре переносятся на последовательность кривых на второй фигуре, параллельных 𝑥', для которых

𝑦'

=

𝑏π(𝑛'+½)

.

(9)

На этих кривых ψ=π(𝑛+½) для всех точек, как положительных, так и отрицательных, а

φ

=

ln(𝑦+√

𝑦²+1

)

=

ln(𝑒

^(𝑥'/𝑏)

+√

𝑒

^{(2𝑥'/𝑏)}

+1

)

.

(10)

Кривые, для которых φ и ψ - постоянны, можно усмотреть непосредственно из уравнений

𝑥'

=

1

2

𝑏 ln

1

4

(

𝑒

^2φ

+

𝑒

^-2φ

2cos 2ψ

,

𝑦'

=

𝑏 arctg

⎛

⎜

⎝

𝑒^φ-𝑒^-φ

𝑒^φ+𝑒^-φ

tg ψ

⎞

⎟

⎠

.

Поскольку фигура повторяется через интервалы π𝑏 по 𝑦', достаточно рассмотреть кривые для одного такого интервала.

Следует различать два случая, в зависимости от того, какая из двух функций, φ или ψ, меняет знак вместе с 𝑦'. Предположим, что знак меняет функция φ. Тогда любая кривая, для которой ψ постоянно, будет симметрична относительно оси 𝑥' и ортогонально пересекать эту ось в некоторой точке отрицательной полуоси 𝑥'. Если начать с этой точки, для которой φ=0, и постепенно увеличивать φ, то кривая будет постепенно изгибаться от первоначально ортогонального к оси до почти параллельного (при больших φ) направления. Положительная полуось 𝑥' принадлежит к системе ψ=const, а именно ψ на ней равно нулю, а при 𝑦'=±π𝑏/2 ψ=π/2. Таким образом, кривые, для которых ψ имеет постоянное значение между 0 и π/2, образуют систему кривых, охватывающих положительную полуось 𝑥'.

Кривые, для которых φ постоянно, пересекают ортогонально систему кривых ψ, причём значения φ лежат в пределах от -∞ до +∞. Для любой кривой φ, построенной выше оси 𝑥', значение φ положительно, вдоль отрицательной полуоси 𝑥' значение φ равно нулю, а для любой кривой ниже оси 𝑥' значение φ отрицательно.

Мы видели, что система ψ симметрична относительно оси 𝑥'. Пусть 𝑃𝑄𝑅 - любая кривая, ортогонально пересекающая эту систему и оканчивающаяся в точках 𝑃 и 𝑅 на линиях 𝑦'=±π𝑏/2, причём точка 𝑄 лежит на оси 𝑥'. Тогда кривая 𝑃𝑄𝑅 симметрична относительно оси 𝑥', но если 𝑐 -значение φ вдоль 𝑃𝑄, то значение φ вдоль 𝑄𝑅 равно -𝑐. В случае, рассматриваемом в п. 195, эта разрывность в значениях φ объясняется распределением электрического заряда.

Если же считать, что не φ, а ψ меняет свой знак вместе с 𝑦' то значение φ будет меняться от 0 до ∞. При φ=0 мы имеем отрицательную полуось 𝑥' при φ=∞ - бесконечно удалённую прямую, перпендикулярную к оси 𝑥'. Вдоль любой кривой 𝑃𝑄𝑅, расположенной между этими двумя кривыми, пересекающей ортогонально ψ-систему, значение φ постоянно по всей длине и положительно.

Значения ψ испытывают теперь скачок в точке, где кривая постоянного значения ψ пересекает отрицательную полуось 𝑥', знак ψ при этом меняется. Значение этой разрывности ψ станет ясно в п. 197.

Кривые, построение которых здесь описано, приведены на рис. XI. При этом следует ограничиться двумя третями графика, отбросив верхнюю треть.

194. Если считать φ потенциальной функцией, а ψ - функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечно длинной металлической полосы шириной π𝑏 с непроводящей прокладкой, неограниченно простирающейся от начала координат в положительном направлении и, таким образом, разделяющей положительную часть полосы на две отдельных части. Мы можем представлять себе эту прокладку как узкую щель в металлическом листе.

Если электрический ток течёт вдоль одной стороны этой прокладки и обратно-вдоль другой, причём вход и выход тока находятся на бесконечном расстоянии на положительной полуоси, то распределение потенциала и тока даётся соответственно функциями φ и ψ.

Если, наоборот, считать ψ потенциалом, а φ - функцией потока, то мы придём к случаю тока, протекающего в общем направлении вдоль 𝑦' по листу, в котором помещён ряд непроводящих прокладок, параллельных 𝑥' и простирающихся от оси 𝑦' до бесконечности в отрицательном направлении.

195. Полученные результаты можно также применить к двум важным случаям статического электричества.

(1) Пусть проводник в виде плоского листа, ограниченного прямолинейным, краем с одной стороны и неограниченного с другой стороны, помещён в плоскости 𝑥𝑧 с положительной стороны от начала координат и пусть параллельно ему по обе стороны на расстоянии π𝑏/2 помещены две бесконечные проводящие плоскости. Тогда потенциальная функция ψ равна 0 на среднем проводнике и равна π/2 на обеих плоскостях.

Рассмотрим количество электричества на части среднего проводника, простирающейся вдоль 𝑧 на расстояние 1, а вдоль 𝑥' - от начала координат до 𝑥'=𝑎