Трактат об электричестве и магнетизме

Если бы никакой кривизны не было, то избыточный заряд на положительной стороне пластины, приходящийся на единицу длины, был бы равен

-

0

∫

-∞

1

4π

𝑑φ

𝑑𝑦'

𝑑𝑥'

=

1

4π

(ψ

₀

-ψ

_-∞

)

=-

1

8

.

Следовательно, при добавлении сюда полного найденного выше распределения этот заряд следует умножить на множитель 1+(𝐵/2𝑅), чтобы получить полный заряд на положительной стороне.

Для диска радиуса 𝑅, помещённого между двумя параллельными плоскостями на расстоянии 𝐵, мы получим следующее выражение для ёмкости диска:

𝐵²

𝑅

+2

ln 2

π

𝑅

+

1

2

𝐵.

(38)

Теория томсоновского защитного кольца

201. В некоторых электрометрах Сэра У. Томсона большая плоская поверхность (большой диск) поддерживается под некоторым потенциалом, а на расстоянии 𝐴 от этой поверхности помещён плоский диск радиуса 𝑅, окружённый большой плоской пластиной, называемой Защитным кольцом, в которой имеется круглое отверстие радиуса 𝑅', концентрическое диску. Этот диск и пластина поддерживаются под нулевым потенциалом.

Промежуток между диском и защитной пластиной можно рассматривать как круглую канавку бесконечной глубины и ширины 𝑅'-𝑅, которую мы обозначим через 𝐵.

Заряд на диске, обусловленный единичным потенциалом большого диска, будет в предположении однородной плотности равен 𝑅²/4𝐴

Заряд с одной стороны прямолинейной канавки ширины 𝐵, длины 𝐿=2π𝑅 и бесконечной глубины может быть оценён по числу силовых линий, исходящих из большого диска и попадающих на эту сторону канавки. Таким образом, согласно п. 198 и примечанию, заряд равен

1

2

𝐿𝐵

×

1

4π𝑏

, т.е.

1

4

𝑅𝐵

𝐴+α'

,

поскольку в этом случае Φ=1, φ=0 и, следовательно, 𝑏=𝐴+α'.

Но так как канавка не прямолинейна, а имеет радиус кривизны 𝑅, то полученный результат следует умножить на 1+(𝐴/2𝑅).

Следовательно, полный заряд на диске равен

𝑅²

4𝐴

+

1

4

𝑅𝐵

𝐴+α

⎛

⎜

⎝

1

+

𝐵

2𝑅

⎞

⎟

⎠

(39)

=

𝑅²+𝑅'²

8𝐴

-

𝑅'²-𝑅²

8𝐴

α'

𝐴+α'

.

(40)

Величина α' не может быть больше, чем (𝐵 ln 2)/π≈0,22𝐵.

Если 𝐵 мало по сравнению с 𝐴 или 𝑅, то это выражение даёт достаточно хорошее приближение для заряда на диске, обусловленного единичной разницей потенциалов. Отношение 𝐴 к 𝑅 может быть при этом произвольным, но разность между радиусом большого диска или защитного кольца и радиусом 𝑅 должна быть в несколько раз больше 𝐴.

Пример VII. Рис. XII

202. Гельмгольц в своём мемуаре о разрывном течении жидкости ³ указал на применение некоторых формул, в которых координаты выражены как функции потенциала и сопряжённой ему функции.

³Monatsberichte der Konigl. Akad. der Wissenschaften zu Berlin, April 23, 1868, p. 215

Одна из его формул может быть применена к случаю заряженной пластины конечных размеров, расположенной параллельно заземлённой бесконечной плоской поверхности.

Поскольку 𝑥₁=𝐴φ и 𝑦₁=𝐴ψ, а также 𝑥₂=𝐴𝑒^φ cosψ и 𝑦₂=𝐴𝑒^φ sinψ являются сопряжёнными функциями от φ и ψ, то функции, получающиеся сложением 𝑥₁ и 𝑥₂, 𝑦₁ и 𝑦₂, тоже будут сопряжёнными. Поэтому, если 𝑥=𝐴φ+𝐴𝑒^φ cosψ, 𝑦=𝐴ψ+𝐴𝑒^φ cosψ, то 𝑥 и 𝑦 сопряжены по отношению φ и ψ, а φ и ψ сопряжены по отношению к 𝑥 и 𝑦.

Пусть теперь 𝑥 и 𝑦 - прямолинейные координаты, а 𝑘ψ - потенциал. Тогда 𝑘φ сопряжено 𝑘ψ (𝑘 - постоянная).

Положим ψ=π тогда 𝑦=𝐴π, 𝑥=𝐴(φ-𝑒^φ). При изменении φ от -∞ до 0 и затем от 0 до +∞ 𝑥 меняется от -∞ до -𝐴 и от -𝐴 до -∞. Таким образом, эквипотенциальная поверхность, для которой ψ=π, представляет собой плоскость, параллельную 𝑥𝑧, находящуюся на расстоянии 𝑏=π𝐴 от начала координат и простирающуюся от 𝑥=-∞ до 𝑥=-𝐴.

Рассмотрим часть этой плоскости, простирающуюся от 𝑥=-(𝐴+𝑎) до 𝑥=-𝐴 и от 𝑧=0 до 𝑧=𝑐, расположенную на расстоянии 𝑦=𝑏=𝐴π от плоскости 𝑥𝑧 и находящуюся под потенциалом 𝑉=𝑘ψ=𝑘π.

Электрический заряд на рассмотренной части плоскости может быть найден по значениям φ в крайних её точках.

Таким образом, нам нужно определить φ из уравнения 𝑥=-(𝐴+𝑎)=𝐴(φ-𝑒^φ). Для φ получается отрицательное значение φ₁ и положительное значение φ₂. На краю плоскости при 𝑥=-𝐴. φ=0. Таким образом, заряд на одной стороне плоскости равен -𝑐𝑘φ₁/4π, а на другой, 𝑐𝑘φ₂/4π. Оба эти заряда положительны, и их сумма равна 𝑐𝑘(φ₂-φ₁)/4π.

Если считать, что 𝑎 много больше 𝐴, то

φ

₁

=

-

𝑎

𝐴

-1

+exp

⎛

⎜

⎝

-

𝑎

𝐴

-1

+exp

⎛

⎜

⎝

-

𝑎

𝐴

-1

+exp

⎛

⎜

⎝

-

𝑎

𝐴

-1…

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

⎞

⎟

⎠

,

φ

₂

=

ln

⎧

⎨

⎩

𝑎

𝐴

+1+ln

⎛

⎜

⎝

𝑎

𝐴

+1+…

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

.

Если пренебречь экспоненциальным членом в φ₁, то легко видеть, что заряд на отрицательной поверхности превышает заряд, который был бы при однородной поверхностной плотности, равной её значению вдали от границы, на величину заряда полосы шириной 𝐴=𝑏/π с той же однородной поверхностной плотностью.

Полная ёмкость рассмотренной части плоскости равна

𝐶

=

𝑐

4π²

(φ

₂

-φ

₁

)

.

Полный заряд равен 𝐶𝑉 а притяжение к бесконечной плоскости 𝑦=0 под потенциалом ψ=0 равно

-

1

2

𝑉²

𝑑𝐶

𝑑𝑏

=

𝑉²

𝑎𝑐

8π³𝐴²

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

1+

𝐴

𝑎

1+

𝐴

ln

𝑎

𝑎

𝐴

+

𝑒

^-𝑎/𝐴

+…

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦

=

=

𝑉²𝑐

8π𝑏²

⎧

⎨

⎩

𝑎+

𝑏

π

-

𝑏²

π²𝑎

ln

𝑎π

𝑏

+…

⎫

⎬

⎭

.

Эквипотенциальные и силовые линии приведены на рис. XII.

Пример VIII. Теория решётки из параллельных проволок. Рис.XIII