Трактат об электричестве и магнетизме

203. Во многих электрических приборах применяется проволочная решётка для предохранения некоторых частей прибора от электризации через индукцию. Мы знаем, что если проводник полностью окружён металлическим сосудом, находящимся под тем же потенциалом, что и проводник, то никакое заряженное тело вне сосуда не может навести на поверхности проводника никакого заряда. Однако проводник, полностью окружённый металлом, становится невидимым, и поэтому в некоторых случаях оставляют отверстие, закрываемое решёткой из тонких проволочек. Рассмотрим, как сказывается такая решётка на уменьшении эффекта электрической индукции. Мы примем, что такая решётка состоит из ряда параллельных проволок, расположенных в одной плоскости через равные интервалы. Диаметр проволок будем считать много меньше расстояния между ними, а расстояние от плоскости экрана до ближайших заряженных тел с одной стороны решётки и до защищаемого проводника с другой стороны будем считать существенно больше расстояния между соседними проволочками.

204. Потенциал на расстоянии 𝑟' от оси прямой проволоки бесконечной длины с зарядом λ на единицу длины равен

𝑉

=

-2λ ln 𝑟'+𝐶

.

(1)

Мы можем записать это выражение в полярных координатах относительно оси, находящейся на единичном расстоянии от проволочки. При этом мы должны положить

𝑟'²

=

1-2𝑟 cos θ+𝑟²

.

(2)

Если принять, что ось отсчёта также заряжена с линейной плотностью λ', то

𝑉

=

-λ ln(1-2𝑟 cos θ+𝑟²)

-2λ' ln 𝑟+𝐶

.

(3)

Если положить, что

𝑟

=

𝑒

^{(2π𝑦)/𝑎}

,

θ

=

2π𝑥

𝑎

,

(4)

то, согласно теории сопряжённых функций, величина

𝑉

=

-λ ln(1-2𝑒

^{(2π𝑦)/𝑎}

cos(2π𝑥)/𝑎+𝑒

^{(4π𝑦)/𝑎}

)

-

-

2λ'ln 𝑒

^{(2π𝑦)/𝑎}

+𝐶

(5)

(𝑥, 𝑦 - прямоугольные координаты) будет значением потенциала, обусловленного бесконечным рядом тонких проволочек, параллельных 𝑧, расположенных в плоскости 𝑥𝑧 и проходящих через точки оси 𝑥, для которых 𝑥 кратно 𝑎, и плоскостями, перпендикулярными оси 𝑦.

Каждая из этих проволочек заряжена с линейной плотностью λ.

Член с λ' указывает на электризацию, вызывающую постоянную силу 4πλ'/𝑎 в направлении 𝑦.

Форма эквипотенциальных поверхностей и силовых линий при λ'=0 дана на рис. XIII. Вблизи проволочек эквипотенциальные поверхности имеют почти цилиндрическую форму, так что мы можем считать решение приблизительно верным и в том случае, когда проволочки представляют собой цилиндры, диаметр которых конечен, но мал по сравнению, с расстоянием между ними.

Вдали от проволочек эквипотенциальные поверхности становятся всё ближе и ближе к плоскостям, параллельным плоскости решётки.

Если положить в уравнении 𝑦=𝑏₁ где 𝑏₁ много больше 𝑎, то приближённо

𝑉

₁

=

-

4π𝑏₁

𝑎

(λ+λ')

+

𝐶

.

(6)

Если далее положить 𝑦=-𝑏₂, где 𝑏₂ положительно и много больше 𝑎, то приближённо

𝑉

₂

=

4π𝑏₂

𝑎

λ'

+

𝐶

.

(7)

Если 𝑐 - радиус проволочек решётки, причём 𝑐 много меньше 𝑎, то потенциал самой решётки можно найти, приняв, что поверхность проволочки совпадает с эквипотенциальной поверхностью, пересекающей плоскость 𝑥𝑧 на расстоянии 𝑐 от оси 𝑧. Поэтому для нахождения потенциала решётки положим 𝑥=𝑐 и 𝑦=0, откуда

𝑉

=

-2 ln 2sin

π𝑐

𝑎

+

𝐶

.

(8)

205. Мы получили теперь выражения, описывающие электрическое состояние системы, состоящей из проволочной решётки с диаметром проволок, много меньшим расстояния между ними, и двух проводящих поверхностей по обе стороны от решётки, находящихся на расстояниях, много больших расстояния между проволочками.

Поверхностная плотность σ₁ на первой плоскости находится из уравнения (6):

4πσ

₁

=

𝑑𝑉₁

𝑑𝑏₁

=

-

4π

𝑎

(λ+λ')

,

(9)

а на второй плоскости - из уравнения (7):

4πσ

₂

=

𝑑𝑉₂

𝑑𝑏₂

=

4π

𝑎

λ'

.

(9)

Если положить

α

=

-

𝑎

2π

ln

⎛

⎜

⎝

2 sin

π𝑐

𝑎

⎞

⎟

⎠

(11)

и исключить 𝑐, λ и λ' из уравнений (6), (7), (8), (9), (10), то получим

4πσ

₁

⎛

⎜

⎝

𝑏

₁

+

𝑏

₂

+

𝑏₁𝑏₂

α

⎞

⎟

⎠

=

𝑉

₁

⎛

⎜

⎝

1

+

𝑏₂

α

⎞

⎟

⎠

-

𝑉

₂

-

𝑉

𝑏₂

α

,

(12)

4πσ

₂

⎛

⎜

⎝

𝑏

₁

+

𝑏

₂

+

𝑏₁𝑏₂

α

⎞

⎟

⎠

=

-

𝑉

₁

+

𝑉

₂

⎛

⎜

⎝

1

+

𝑏₁

α

⎞

⎟

⎠

-

𝑉

𝑏₁

α

.

(13)

Для бесконечно тонких проволочек α становится бесконечным, члены, где α входит в знаменатель, исчезают, так что мы приходим к случаю двух параллельных пластин без всякой решётки.

Если решётка находится в металлическом контакте с одной из плоскостей, скажем с первой, то 𝑉=𝑉₁ и правая часть уравнения для σ₁ становится равной 𝑉₁-𝑉₂. Следовательно, плотность σ₁, наводимая на первой плоскости при наличии решётки, относится к значению плотности, которая наводилась бы при отсутствии решётки, и при второй плоскости, поддерживаемой при том же потенциале, как 1 к 1+[𝑏₁𝑏₂/{α(𝑏₁+𝑏₂)}].

Мы пришли бы к той же величине уменьшения электрического влияния первой поверхности на вторую при наличии решётки, если бы считали, что решётка связана со второй поверхностью. Это ясно из того, что 𝑏₁ и 𝑏₂ входят в это выражение одинаково. Это непосредственно следует также из теоремы п. 88.

Индукция одной заряженной плоскости на другую через решётку получается такая же, что и при удалённой решётке, но на расстоянии между плоскостями, увеличенном с 𝑏₁+𝑏₂ до 𝑏₁+𝑏₂+(𝑏₁𝑏₂/α).