Трактат об электричестве и магнетизме

Количество электричества на части этой полосы, простирающейся от 𝑥₁' до 𝑥₂' равно (φ₂-φ₁)/4π, следовательно, количество электричества от начала коор динат до 𝑥'=𝑎 на одной стороне средней пластины равно

𝐸

=

1

4π

ln

(

𝑒

^𝑎/𝑏

+

√

𝑒

^(2𝑎/𝑏)

-1

).

(11)

Если 𝑎 много больше 𝑏, то

𝐸

=

1

4π

ln

(

2𝑒

^(𝑎/𝑏)

)

=

𝑎+𝑏 ln 2

4π𝑏

.

(12)

Таким образом, количество электричества на пластине, ограниченной прямолинейным краем, больше, чем оно было бы при равномерном распределении с плотностью, равной плотности вдали от границы, и равно количеству электричества, равномерно распределённому с той же плотностью по пластине, ширина которой, увеличена на 𝑏 ln 2 за пределы её фактической границы.

Это воображаемое однородное распределение указано пунктирными прямыми на рис. XI. Вертикальные прямые изображают силовые линии, а горизонтальные - эквипотенциальные поверхности в предположении однородной плотности в обеих плоскостях, продолженных до бесконечности во всех направлениях.

196. Иногда конденсаторы представляют собой пластину, помещённую посредине между двумя параллельными пластинами, простирающимися значительно дальше, чем промежуточная пластина. Если радиус кривизны границы промежуточной пластины много больше расстояния между пластинами, эту границу можно считать прямолинейной и при расчёте ёмкости конденсатора принять, что площадь промежуточной пластины увеличена на полосу постоянной ширины вдоль всей границы, а поверхностная плотность на этой увеличенной пластине та же, что на участках первоначальной пластины, удалённых от границы.

Таким образом, если 𝑆 - истинная площадь пластины, 𝐿 - её периметр, а 𝐵 - расстояние между большими пластинами, то

𝑏

=

𝐵/π

(13)

и ширина дополнительной полоски равна

α

=

𝐵 ln 2

π

,

(14)

так что площадь увеличенной пластины равна

𝑆'

=

𝑆

+

𝐵𝐿 ln 2

π

,

(15)

а ёмкость одной стороны средней пластины равна

1

2π

𝑆'

𝐵

=

1

2π

⎧

⎨

⎩

𝑆

𝐵

+

𝐿

1

π

ln 2

⎫

⎬

⎭

.

(16)

Поправки на толщину пластины

Поскольку толщиной средней пластины в общем случае нельзя пренебречь по сравнению с расстоянием между пластинами, можно получить лучшее описание этого случая, приняв сечение промежуточной пластины соответствующим кривой ψ=ψ'.

При этом пластина будет иметь почти постоянную толщину β=2𝑏ψ' вдали от границы и закругление у края.

Истинное положение края пластины можно найти, положив 𝑦'=0 откуда

𝑥'

=

𝑏 ln cos ψ'

.

(17)

Значение φ на этом краю равно 0, а в точке, для которой 𝑥'=𝑎 (𝑎/𝑏 велико), оно приблизительно равно (𝑎+𝑏 ln 2)/𝑏.

Таким образом, общее количество электричества на пластине таково, как если бы к ней добавлялась полоса шириной

𝐵

π

⎛

⎜

⎝

ln 2

+

ln cos

πβ

2𝐵

⎞

⎟

⎠

, т.е.

𝐵

π

⎛

⎜

⎝

2 cos

πβ

2𝐵

⎞

⎟

⎠

,

(18)

а плотность была бы всюду постоянной и равной плотности вдали от границы.

Плотность у края

Поверхностная плотность в любой точке пластины равна

1

4π

𝑑φ

𝑑𝑥'

=

1

4π𝑏

𝑒^𝑥'/𝑏

√𝑒^2𝑥'/𝑏-1

=

1

4π𝑏

⎛

⎜

⎝

1

+

1

2

𝑒

^-2𝑥'/𝑏

+

3

8

𝑒

^-4𝑥'/𝑏

+…

⎞

⎟

⎠

.

(19)

Величина в скобках быстро приближается к единице с ростом 𝑥', так что на расстоянии от границы, превышающем в 𝑛 раз ширину полосы α, истинная плотность превышает нормальную примерно на 1/(2^2𝑛+1) от нормальной плотности.

Аналогично можно найти плотность на бесконечных пластинах

=

1

4π𝑏

𝑒^𝑥'/𝑏

√𝑒^2𝑥'/𝑏+1

(20)

При 𝑥'=0 плотность составляет 2^-½ от нормальной плотности.

В сторону положительных 𝑥' на расстоянии от границы, превышающем в 𝑛 раз ширину граничной полосы, плотность меньше нормальной примерно на 1/(2^2𝑛+1) от нормальной плотности. На таком же расстоянии в сторону отрицательных 𝑥' плотность составляет примерно 2^-𝑛 от нормальной плотности.

Эти результаты позволяют судить о степени точности, на которую можно рассчитывать при применении этих методов к пластинам ограниченных размеров или при наличии нерегулярностей недалёко от границы. Такое же распределение имело бы место и в случае бесконечной последовательности одинаковых пластин на равных расстояниях друг от друга, потенциалы которых попеременно равны +𝑉 и -𝑉. В этом случае расстояние между пластинами следует принять равным 𝐵.

197. (2) Второй случай, который мы рассмотрим,- это случай бесконечной совокупности плоскостей параллельных 𝑥'𝑧, отстоящих друг от друга на расстояние 𝐵=π𝑏 и ограничиваемых плоскостью 𝑦'𝑧, так что они расположены лишь с отрицательной стороны от этой плоскости. Если считать φ потенциальной функцией, то эти плоскости можно рассматривать как проводники под нулевым потенциалом.

Рассмотрим кривые постоянного φ.

При 𝑦'=𝑛π𝑏, т.е. на продолжении каждой плоскости,

𝑥'

=

𝑏 ln ½

(𝑒

^φ

+𝑒

^-φ

)

.

(21)

При 𝑦'=(𝑛+½)π𝑏, т.е. в промежуточных положениях,

𝑥'

=

𝑏 ln ½

(𝑒

^φ

-𝑒

^-φ

)

.

(22)

Таким образом, при больших φ кривая постоянного φ имеет волнообразный характер.

Среднее её расстояние от оси 𝑦' приблизительно равно

𝑎

=

𝑏

(φ-ln 2)

,

(23)

а амплитуда колебаний по обе стороны от этой прямой равна

½𝑏 ln

𝑒^φ+𝑒^-φ

𝑒^φ-𝑒^-φ

.

(24)

При больших φ эта величина стремится к 𝑏𝑒^-2φ, так что кривая приближается к прямой линии, параллельной оси 𝑦' и находящейся на расстоянии 𝑎 от этой оси с положительной стороны.