Трактат об электричестве и магнетизме

Примep IV. Распределение электричества у ребра проводника, образуемого двумя плоскими гранями

191. В случае, когда границей проводника является бесконечная плоскость 𝑦=0, проводник расположен со стороны отрицательных 𝑦 и поверхностная плотность заряда равна σ₀, потенциал на расстоянии 𝑦 от плоскости равен 𝑉=𝐶-4πσ₀𝑦, где 𝐶 - значение потенциала на самом проводнике.

Примем некоторую прямую, лежащую в плоскости, за полярную ось и преобразуем это выражение к полярным координатам. Тогда потенциал представится в виде 𝑉=𝐶-4πσ₀𝑒^ρsin θ, а количество электричества на параллелограмме единичной ширины и длины 𝑎𝑒^ρ измеряемой вдоль оси, будет равно 𝐸=σ₀𝑎𝑒^ρ.

Положим теперь ρ=𝑛ρ' и θ=𝑛θ'. Поскольку ρ' и θ' сопряжены ρ и θ, уравнения

𝑉

=

𝐶

-

4πσ

₀

𝑒

^𝑛ρ'

sin 𝑛θ'

 и

𝐸

=

σ

₀

𝑎𝑒

^𝑛ρ'

.

дают возможное распределение потенциала и заряда.

Заменим 𝑎𝑒^ρ' на 𝑟, где 𝑟 - расстояние от оси, и переобозначим угол θ' через θ. Тогда получим

𝑉

=

𝐶

-

4πσ

₀

𝑟^𝑛

𝑎^𝑛-1

sin 𝑛θ

,

𝐸

=

σ

₀

𝑟^𝑛

𝑎^𝑛-1

.

𝑉 равно 𝐶 при 𝑛θ равном π или кратном π.

Пусть ребро представляет собой выступающий угол проводника с раствором α между гранями, тогда угол области диэлектрика равен 2π-α, так что при θ=2π-α точка находится на второй грани проводника.

Поэтому мы должны положить 𝑛(2π-α)=π или 𝑛=π/(2π-α). Тогда

𝑉

=

𝐶

-

4πσ

₀

𝑎

⎛

⎝

𝑟

𝑎

⎞

⎠

π

2π-α

 sin

π

2π-α

,

𝐸

=

σ

₀

𝑎

⎛

⎝

𝑟

𝑎

⎞

⎠

π

2π-α

.

Поверхностная плотность σ на произвольном расстоянии 𝑟 от ребра равна

σ

=

𝑑𝐸

𝑑𝑟

=

π

2π-α

σ

₀

⎛

⎝

𝑟

𝑎

⎞

⎠

α-π

2π-α

.

Если угол выступающий, то α меньше π и плотность заряда меняется обратно пропорционально некоторой степени расстояния от ребра, так что на самом ребре плотность становится бесконечной, хотя полный заряд на любом конечном расстоянии от ребра всегда конечен.

Так, при α=0 ребро бесконечно острое, как край математической плоскости. В этом случае плотность меняется обратно пропорционально квадратному корню из расстояния от края.

При α=π/3 ребро такое, как у равносторонней призмы, а плотность меняется обратно расстоянию в степени 2/5.

При α=π/2 угол у ребра прямой, а плотность обратно пропорциональна корню кубическому из расстояния.

При α=2π/3 ребро подобно ребру правильной шестигранной призмы, а плотность обратно пропорциональна корню четвёртой степени из расстояния.

При α=π ребро исчезает и плотность постоянна.

При α=4π/3 угол у ребра равен внешнему углу шестигранной призмы, а плотность прямо пропорциональна корню четвёртой степени из расстояния от ребра.

При α=3π/2 ребро представляет собой входящий прямой угол, а плотность прямо пропорциональна расстоянию от ребра.

При α=5π/3 у ребра входящий угол 60°, а плотность пропорциональна квадрату, расстояния от ребра.

В действительности, во всех случаях, когда плотность становится бесконечной в какой-либо точке, имеет место электрический разряд в диэлектрик в этой точке, как было пояснено в п. 55.

Пример V. Эллипсы и гиперболы. Рис. X

192. Мы знаем, что, если положить

𝑥

₁

=

𝑒

^φ

cos ψ

,

𝑦

₁

=

𝑒

^φ

sin ψ

,

(1)

то 𝑥₁ и 𝑦₁ будут сопряжёнными функциями от φ и ψ. Точно так же, если

𝑥

₂

=

𝑒

^-φ

cos ψ

,

𝑦

₂

=

𝑒

^-φ

sin ψ

,

(2)

то 𝑥₂ и 𝑦₂ будут также сопряжёнными функциями от φ и ψ. Следовательно, если положить

2𝑥

=

𝑥

₁

+𝑥

₂

=

(𝑒

^φ

+𝑒

^-φ

)cos ψ

,

2𝑦

=

𝑦

₁

+𝑦

₂

=

(𝑒

^φ

+𝑒

^-φ

)sin ψ

,

(3)

то 𝑥 и 𝑦 также будут сопряжёнными функциями от ψ и φ. В этом случае точки с постоянным φ лежат на эллипсе с осями 𝑒^φ+𝑒^-φ и 𝑒^φ-𝑒^-φ. Точки, для которых постоянно ψ, лежат на гиперболе с осями 2 cosψ и 2 sinψ. На оси 𝑥 между 𝑥-1 и 𝑥+1 имеем

φ=0, ψ=arccos 𝑥

.

(4)

Вне этих пределов с обеих сторон на оси

𝑥>1

,

ψ

=

2𝑛π

,

φ

=

ln(𝑥+√

𝑥²-1

)

,

𝑥<-1

,

ψ

=

(2𝑛+1)π

,

φ

=

ln(√

𝑥²-1

-𝑥)

.

(5)

Таким образом, считая φ потенциальной функцией, а ψ - функцией потока, мы приходим к случаю потока электричества с положительной стороны оси 𝑥 на отрицательную через промежуток между точками -1 и +1, причём участки оси вне этих пределов непроницаемы для электричества.

Поскольку ось 𝑦 в этом случае является линией потока, мы можем её также считать непроницаемой для электричества.

Мы можем рассматривать также эллипсы как сечения эквипотенциальных поверхностей для бесконечно длинного плоского проводника ширины 2, заряженного половиной единицы электричества на единицу длины. (Учитывается заряд с обеих сторон плоского проводника.)

Если считать ψ потенциальной функцией, а φ - функцией потока, то мы приходим к случаю бесконечной плоскости, в которой вырезана полоса шириной 2 и у которой одна сторона заряжена до потенциала π, а вторая остаётся под нулевым потенциалом.

Эти задачи можно считать частными случаями поверхностей второго порядка, рассмотренных в главе X. Форма кривых показана на рис. X [в конце книги].

Пример VI. Рис. XI

193. Пусть теперь 𝑥' и 𝑦' - функции от 𝑥 и 𝑦, причём

𝑥'

=

𝑏 ln√

𝑥²+𝑦²

,

𝑦'

=

𝑏 arctg

𝑦

𝑥

,

Тогда 𝑥' и 𝑦' будут также сопряжёнными функциями от φ и ψ, определённых в п. 192. Кривые, получающиеся при преобразовании рис. X к новым координатам, приведены на рис. XI.