Трактат об электричестве и магнетизме

Если принять, что плоскость 𝑥'=𝑎 поддерживается под постоянным потенциалом, а система параллельных плоскостей - под другим потенциалом, то, поскольку 𝑏φ=𝑎+𝑏 ln 2, поверхностная плотность электричества, наведённого на плоскости, такая же, как при помещении плоскости, параллельной данной, при потенциале, равном потенциалу последовательности плоскостей, на расстоянии, превышающем расстояние до краёв плоскостей на 𝑏 ln 2.

Если 𝐵 - расстояние между двумя плоскостями бесконечной последовательности, 𝐵=π𝑏, то дополнительное расстояние равно

α

=

𝐵

ln 2

π

(25)

198. Рассмотрим теперь объём, заключённый между двумя эквипотенциальными поверхностями, одна из которых состоит из последовательности параллельных волн, а вторая соответствует большим значениям φ и может приближённо считаться плоской.

Если 𝐷 - глубина этих колебаний, измеряемая от вершины до впадины каждой волны, то для соответствующего значения φ получим

φ

=

1

2

𝑒^𝐷/𝑏+1

𝑒^𝐷/𝑏+1

.

(26)

Значение 𝑥' в вершине волны равно

𝑏 ln

1

2

(𝑒

^φ

+𝑒

^-φ

)

.

(27)

Таким образом ², если 𝐴 - расстояние от вершин волн до противолежащей плоскости, то ёмкость системы, состоящей из плоской поверхности, и волнообразной поверхности такая же, как для двух плоскостей, находящихся на расстоянии 𝐴+α', где

α'

=

𝐵

π

ln

2

1+𝑒^-π𝐷/𝐵

(28)

² Пусть Φ - потенциал плоскости, а φ - потенциал волнообразной поверхности. Количество электричества на плоскости, приходящееся на единицу площади, равно 1/4 π𝑏. Следовательно, ёмкость =1/4 π𝑏(Φ-φ), 1/4 π(𝐴+α) (по предположению). Таким образом, 𝐴+α=𝑏(Φ-φ) Но 𝐴+𝑏 ln

𝑒^φ+𝑒^-φ

2 = 𝑏(Φ-ln 2) . Следовательно, α = -𝑏φ + 𝑏 ( ln 2 + ln

1

2 (𝑒^φ+𝑒^-φ) ) = 𝑏 ln (1+𝑒^-2φ) = 𝑏 ln

2

1+𝑒^𝐷/𝑏 , согласно (26).

199. Если в проводнике с плоской поверхностью проделана отдельная канавка такой формы, а другой проводник представляет собой плоскую поверхность на расстоянии 𝐴 то ёмкость одного проводника по отношении к другому при этом уменьшается. Уменьшение ёмкости не превышает (1/𝑛)-й части уменьшения, вызываемого 𝑛 такими рядом расположенными канавками, потому что в последнем случае средняя электрическая сила между проводниками будет меньше, чем в. первом, так что индукция на поверхности каждой канавки будет уменьшена за счёт соседних канавок.

Пусть 𝐿 - длина, 𝐵 - ширина, 𝐷 - глубина канавки. Ёмкость участка противостоящей плоскости площади 𝑆 будет равна

𝑆-𝐿𝐵

4π𝐴

+

𝐿𝐵

4π(𝐴+α')

=

𝑆

4π𝐴

-

𝐿𝐵

4π𝐴

α'

𝐴+α'

.

(29)

При 𝐴 много больше 𝐵 или α поправка, согласно (28), принимает вид

𝐿

4π²

𝐵²

𝐴²

ln

2

1+𝑒^-π𝐷/𝐵

(30)

а для щели бесконечной глубины, полагая 𝐷=∞, получим

𝐿

4π²

𝐵²

𝐴²

ln 2

.

(31)

Чтобы найти поверхностную плотность на семействе параллельных пластин, нужно определить

σ

=

1

4π

𝑑ψ

𝑑𝑥'

при φ=0. Расчёт даёт

σ

=

1

√𝑒^-2𝑥'/𝑏-1

.

(32)

Средняя плотность на плоской пластине, находящейся на расстоянии 𝐴 от краёв семейства пластин, равна σ=1/(4π𝑏) Следовательно, на расстоянии 𝑛α от края каждой пластины поверхностная плотность равна (2^2𝑛-1)^-1/2 от этой средней плотности.

200. Попытаемся теперь вывести из наших результатов распределение электричества в конфигурации в виде семейства коаксиальных цилиндров перед плоскостью, образуемой вращением двумерной системы из п. 197 вокруг оси 𝑦'=𝑅. В этом случае уравнение Пуассона примет вид

𝑑²𝑉

𝑑𝑥'²

+

𝑑²𝑉

𝑑𝑦'²

+

1

𝑅+𝑦'

𝑑𝑉

𝑑𝑦'

+

4πρ

=

0.

(33)

Примем, что 𝑉 равно функции φ из п. 193, и определим значение ρ из этого уравнения. Мы знаем, что первые два члена сократятся, так что

ρ

=-

1

4π

1

𝑅+𝑦'

𝑑φ

𝑑𝑦'

.

(34)

Если предположить, что, кроме уже рассмотренной ранее поверхностной плотности, имеет место объёмное распределение электричества по установленному выше закону, то распределение потенциала будет даваться кривыми на рис. XI.

Но из рис. XI видно, что 𝑑φ/𝑑𝑦' очень мало́, за исключением областей вблизи границ пластин, так что это новое распределение можно приблизительно представить некоторым поверхностным распределением электричества у краёв пластин.

Если, следовательно, вычислить интеграл ∫ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦' от 𝑦'=0 до 𝑦'=π𝑏/2 и от 𝑥'=-∞ до 𝑥'=+∞, то можно найти полный дополнительный заряд на одной стороне пластин, обусловленный кривизной.

Поскольку

𝑑φ

𝑑𝑦'

=

-

𝑑ψ

𝑑𝑥'

,

то

∞

∫

-∞

ρ𝑑𝑥'

=

∞

∫

-∞

1

4π

1

𝑅+𝑦'

𝑑ψ

𝑑𝑥'

=

1

4π

1

𝑅+𝑦'

(ψ

_∞

-ψ

_-∞

)

=

=

1

8

1

𝑅+𝑦'

⎛

⎜

⎝

2

𝑦'

𝐵

-1

⎞

⎟

⎠

.

(35)

Интегрируя по 𝑦', получим

𝐵/2

∫

0

∞

∫

-∞

ρ𝑑𝑥'𝑑𝑦'

=

1

8

-

1

8

2𝑅+𝐵

𝐵

ln

2𝑅+𝐵

2𝑅

,

(36)

=-

1

32

𝐵

𝑅

+

1

192

𝐵²

𝑅²

+

….

(37)

Это выражение даёт половину полного количества электричества, приходящегося на единицу длины, которое мы должны считать распределённым в пространстве вблизи края одного из цилиндров. Поскольку эта объёмная плотность заметна лишь вблизи края пластины, мы можем считать всё электричество сосредоточенным на поверхности пластины, не изменив при этом заметным образом его воздействие на противолежащую плоскую поверхность. При расчёте притяжения этой поверхности к цилиндрической поверхности мы можем считать это электричество расположенным на цилиндрической поверхности.