Трактат об электричестве и магнетизме

При обратной инверсии этой системы в две соприкасающиеся сферы положительным изображениям соответствует последовательность отрицательных изображений, расстояние которых от точки соприкосновения даётся выражением

1

,

𝑠

⎛

⎜

⎝

1

+

1

⎞

⎟

⎠

𝑎

𝑏

где 𝑠 - положительно для сферы 𝐴 и отрицательно для сферы 𝐵. при единичном потенциале сфер заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от точки соприкосновения и всегда отрицателен.

Кроме того, будет существовать последовательность положительных изображений, соответствующая отрицательным изображениям для двух плоскостей; расстояния этих положительных изображений от точки соприкосновения, отсчитываемые в направлении центра сферы 𝐴, равны

1

.

1

+

𝑠

⎛

⎜

⎝

1

+

1

⎞

⎟

⎠

𝑎

𝑎

𝑏

При 𝑠 равном нулю или целому положительному числу изображение находится внутри сферы 𝐴, при 𝑠 целом отрицательном изображение находится внутри сферы 𝐵. Заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от начала координат и всегда положителен.

Таким образом, полный заряд сферы 𝐴 равен

𝐸

_𝑎

=

𝑠=∞

∑

𝑠=0

1

-

𝑎𝑏

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

.

1

+

𝑠

⎛

⎝

1

+

1

⎞

⎠

𝑎+𝑏

𝑠

𝑎

𝑎

𝑏

Оба эти ряда расходятся, но если их скомбинировать в виде

𝐸

_𝑎

=

𝑠=∞

∑

𝑠=1

𝑎²𝑏

𝑠(𝑎+𝑏){𝑠(𝑎+𝑏)-𝑎}

,

то ряд становится сходящимся.

Аналогично для заряда на сфере 𝐵 получим

𝐸

_𝑏

=

𝑠=∞

∑

𝑠=1

𝑎𝑏

𝑠(𝑎+𝑏)-𝑏

-

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

𝑠=-∞

∑

𝑠=-1

1

𝑠

=

=

𝑎𝑏²

𝑠(𝑎+𝑏){𝑠(𝑎+𝑏)-𝑎}

.

Очевидно, выражение для 𝐸_𝑎 равно

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

1

∫

0

θ^{(𝑏/(𝑎+𝑏))-1}-1

1-θ

𝑑θ

.

Последний результат для этого случая был получен Пуассоном.

Можно также показать (Legendre, Traité des Fonctions Elliptiques, II, 438), что приведённый выше ряд для 𝐸_𝑎 равен

𝑎

-

⎧

⎨

⎩

γ+Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑏

𝑎+𝑏

⎞

⎟

⎠

⎫

⎬

⎭

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

,

где γ=0,57712..., а Ψ(𝑥)=𝑑/𝑑𝑥⋅ln Γ(1+𝑥).

Таблицы значений Ψ приведены Гауссом (Werke, Band III, р. 161-162).

Если временно обозначить 𝑏/(𝑎+𝑏) через 𝑥 то разность зарядов 𝐸_𝑎 и 𝐸_𝑏 запишется в виде

-

𝑑

𝑑𝑥

ln[Γ(𝑥)Γ(1-𝑥)]

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

=

𝑎𝑏

𝑎+𝑏

𝑑

𝑑𝑥

ln sin π𝑥

=

=

π𝑎𝑏

𝑎+𝑏

ctg

π𝑏

𝑎+𝑏

.

Для одинаковых сфер заряд каждой равен при единичном потенциале

𝐸

_𝑎

=

𝑎

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

2𝑠(2𝑠-1)

=

𝑎

⎛

⎜

⎝

1-

1

2

+

1

3

-

1

4

+…

⎞

⎟

⎠

=

=

𝑎 ln 2

=

0,69314718 𝑎

.

Если сфера 𝐴 много меньше сферы 𝐵, то заряд на 𝐴 приблизительно равен

𝐸

_𝑎

=

𝑎²

𝑏

𝑠=∞

∑

𝑠=1

1

𝑠²

=

π²

6

𝑎²

𝑏

,

а заряд на 𝐵 приблизительно тот же, что и при удалении сферы 𝐴, т.е. 𝐸_𝑏=𝑏.

Средняя плотность на каждой сфере находится делением заряда на величину поверхности. Таким образом,

σ

_𝑎

=

𝐸_𝑎

4π𝑎²

=

π

24𝑏

,

σ

_𝑏

=

𝐸_𝑏

4π𝑏²

=

π

4𝑏

,

σ

_𝑎

=

π²

6

σ

_𝑏

.

Следовательно, при прикосновении малой сферы к очень большой средняя плотность на малой сфере отличается от средней плотности на большой сфере множителем π²/6 т.е. 1,644936.

Применение метода электрической инверсии к случаю сферической чаши

176. Одной из наиболее замечательных иллюстраций метода электрических изображений сэра У. Томсона является его исследование распределения электричества на части сферической поверхности, ограниченной малым кругом. Результаты этих исследований были без доказательства сообщены г-ну Лиувилю и опубликованы в его Journal в 1847 г. Полное исследование опубликовано у Томсона в Electrical Papers, статья XV.

Насколько мне известно, ни одним другим математиком не было дано какого-либо решения задачи о распределении электричества на конечной части какой-либо искривлённой поверхности.

Поскольку моей целью является разъяснение метода, а не проверка вычислений, я не будут подробно излагать ни геометрии задачи, ни вычислений, отсылая читателей к работе Томсона.

Распределение электричества на эллипсоиде

177. Известным методом было доказано ³, что притяжение оболочки, ограниченной двумя подобными, подобно расположенными и концентрическими эллипсоидами, таково, что на точку, находящуюся внутри оболочки, не действует никакая результирующая сила притяжения. Если предположить, что толщина оболочки неограниченно уменьшается, а плотность на ней неограниченно возрастает, мы в пределе придём к понятию поверхностной плотности, меняющейся пропорционально величине перпендикуляра, опущенного из центра на касательную плоскость. Поскольку результирующая сила притяжения такого поверхностного распределения, действующая на любую точку внутри эллипсоида, равна нулю, то при таком распределении электричества на поверхности имеет место равновесие.

³ См. Thomson and Tait, «Natural Philosophy», § 520 или п. 150 настоящего трактата.

Таким образом, поверхностная плотность в любой точке эллипсоида, не возмущённого внешним воздействием, меняется как расстояние касательной плоскости от центра.

Распределение электричества на диске

Взяв две оси эллипсоида равными, а третью устремив к нулю, мы придём к случаю кругового диска и к выражению для поверхностной плотности в произвольной точке 𝑃 такого диска, заряженного до потенциала 𝑉 и невозмущённого внешним влиянием. Если σ - поверхностная плотность на одной стороне диска, a 𝐾𝑃𝐿 - хорда проходящая через точку 𝑃, то σ=𝑉/(2π²√𝐾𝑃⋅𝑃𝐿).

Применение принципа электрической инверсии