Трактат об электричестве и магнетизме

𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)

,

𝑞

_𝐴𝐵

=

𝑀'

=

𝑀

(𝐿+𝑀)(𝑀+𝑁)𝑙

𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)

,

𝑞

_𝐴𝑎

=-

𝑅𝑙(𝐿+𝑀)

𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)

.

Если имеется просто два проводника 𝐴 и 𝑎, то 𝑀=𝑁=𝑚=𝑛=0, и

𝑞

_𝐴𝐴

=

𝐿

+

𝐿²𝑙

𝑅²-𝐿𝑙

,

𝑞

_𝐴𝑎

=-

𝑅𝐿𝑙

𝑅²-𝐿𝑙

,

что согласуется с выражениями, найденными в п. 90 а.

Величина 𝐿+2𝑀+𝑁 даёт полный заряд конденсатора при единичном потенциале на электродах. Она не может превосходить половины наибольшего размера конденсатора.

𝐿+𝑀 - заряд первого электрода, a 𝑀+𝑁 - заряд второго при единичном потенциале на обоих электродах. Обе эти величины должны быть положительны и меньше ёмкости самого электрода. Поэтому поправки в коэффициентах ёмкости конденсатора значительно меньше, чем для простого проводника той же ёмкости.

Приближения такого рода часто полезны при оценке ёмкости проводников неправильной формы, находящихся на значительном расстоянии от остальных проводников.

91. Если в поле вносится округлый проводник 𝐴₃, размеры которого малы по сравнению с расстоянием между проводниками, то коэффициент потенциала 𝐴₁ относительно 𝐴₂ увеличивается, если 𝐴₃ находится внутри сферы, построенной на прямой 𝐴₁𝐴₂ как на диаметре, и уменьшается, если 𝐴₃ вне этой сферы.

Действительно, единичный положительный заряд на 𝐴₁ создаёт распределение электричества на 𝐴₃, при котором +𝑒 находится на стороне, наиболее удалённой от 𝐴₁ а -𝑒 - на стороне, ближайшей к 𝐴₁. Потенциал на 𝐴₂, создаваемый этим распределением электричества на 𝐴₃, будет положительным или отрицательным в зависимости от того, какой из зарядов, +𝑒 или -𝑒, ближе к 𝐴₂, и если тело 𝐴₃ не очень вытянуто, то это зависит от того, будет ли угол 𝐴₁𝐴₂𝐴₃ тупым или острым, т. е. находится ли точка 𝐴₃ внутри или вне сферы, построенной на 𝐴₁𝐴₂ как на диаметре.

Для продолговатого тела 𝐴₃ легко видеть, что если его наибольшая ось расположена по касательной к окружности, проходящей через точки 𝐴₁, 𝐴₃ и 𝐴₂, то оно может повысить потенциал 𝐴₂, даже находясь полностью вне сферы, и, наоборот, если его наибольшая ось направлена по радиусу этой окружности, то оно может уменьшить потенциал 𝐴₂, даже находясь полностью внутри сферы. Эти соображения служат лишь для грубой оценки ожидаемых явлений при заданной конфигурации прибора.

92. Если в поле вносится новый проводник 𝐴₃, то ёмкости всех имевшихся ранее в поле проводников увеличиваются, а численные значения коэффициентов индукции любой пары проводников уменьшаются.

Действительно, допустим, что 𝐴₁ находится под единичным потенциалом, а все остальные проводники - под нулевым. Поскольку заряд вновь внесённого проводника будет отрицательным, он индуцирует на всех остальных проводниках положительный заряд, тем самым увеличивая положительный заряд 𝐴₁ и уменьшая отрицательные заряды всех остальных проводников.

93 а.Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы изолированных заряженных проводников.

Поскольку проводники изолированы, то их заряды остаются при перемещении постоянными. Пусть их потенциалы равны 𝑉₁, 𝑉₂, …, 𝑉_𝑛 до перемещения и 𝑉'₁, 𝑉'₂, …, 𝑉'_𝑛 - после. Тогда электрическая энергия равна 𝑊=(1/2)∑(𝑒𝑉) до перемещения и 𝑊'=(1/2)∑(𝑒𝑉') - после.

Работа, совершаемая при перемещении электрическими силами, равна разности начальной энергии 𝑊 и конечной энергии 𝑊' т.е. 𝑊-𝑊'=(1/2)∑[𝑒(𝑉-𝑉')].

Это выражение даёт значение работы при любом перемещении системы изолированных проводников, большом или малом.

Чтобы найти силу, стремящуюся произвести какой-либо частный вид перемещения, обозначим через φ переменную, изменение которой соответствует этому виду перемещения, а через Φ - соответствующую силу, которую мы считаем положительной, если электрическая сила стремится увеличить φ. Тогда Φ𝑑φ=-𝑑𝑊_𝑒, т.е. Φ=-(𝑑𝑊_𝑒/𝑑φ), где 𝑊_𝑒 - электрическая энергия, выраженная как квадратичная функция от зарядов.

93 б. Докажем, что (𝑑𝑊_𝑒/𝑑φ) + (𝑑𝑊_𝑉/𝑑φ) = 0.

У нас есть три различных выражения для энергии системы.

Во-первых, 𝑊=(1/2)∑(𝑒𝑉). Это определённая функция от 𝑑 зарядов и 𝑑 потенциалов.

Во-вторых, 𝑊_𝑒=(1/2)∑∑(𝑒_𝑟𝑒_𝑠𝑝_𝑟𝑠), где 𝑟 и 𝑠 могут быть и одинаковыми и разными, причём в сумму включается как 𝑟𝑠, так и 𝑠𝑟. Это функция от 𝑛 зарядов и от переменных, определяющих их расположение. Пусть φ одна из этих переменных.

И, в-третьих, 𝑊_𝑉=(1/2)∑∑(𝑉_𝑟𝑉_𝑠𝑞_𝑟𝑠), где суммирование производится как и выше. Это функция от 𝑛 потенциалов и от переменных, определяющих конфигурацию, одной из которых является φ.

Поскольку 𝑊=𝑊_𝑒=𝑊_𝑉, то 𝑊_𝑒+𝑊_𝑉-2𝑊=0.

Представим себе, что 𝑛 зарядов, 𝑛 потенциалов и φ как-то меняются согласованным образом. Тогда

∑

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑊_𝑒

𝑑𝑒_𝑟

-

𝑉

_𝑟

⎞

⎟

⎠

δ𝑒

_𝑟

⎤

⎥

⎦

+

∑

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑊_𝑉

𝑑𝑉_𝑠

-

𝑒

_𝑠

⎞

⎟

⎠

δ𝑉

_𝑠

⎤

⎥

⎦

+

+

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑊_𝑒

𝑑φ

+

𝑑𝑊_𝑉

𝑑φ

⎞

⎟

⎠

δφ

=

0.

Однако 𝑛 зарядов, 𝑛 потенциалов и φ не являются независимыми, так как лишь 𝑛+1 из этих величин независимы. Но мы уже доказали, что (𝑑𝑊_𝑒/𝑑𝑒_𝑟)=𝑉_𝑟, так что первая сумма тождественно обращается в нуль. Отсюда следует, что (𝑑𝑊_𝑉/𝑑𝑉_𝑠) = 𝑒_𝑠. (даже если бы мы это уже не доказали раньше) и, наконец, что (𝑑𝑊_𝑒/𝑑φ) + (𝑑𝑊_𝑉/𝑑φ) = 0.