Трактат об электричестве и магнетизме

Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными

93 в. Из последнего уравнения следует, что сила равна Φ=(𝑑𝑊_𝑉/𝑑𝑉_𝑠), так что если система перемещается при условии, что все потенциалы остаются постоянными, то работа, совершаемая электрическими силами, равна

∫

Φ𝑑φ

=

∫

𝑑𝑊

_𝑉

=

𝑊'

_𝑉

-𝑊

_𝑉

,

т.е. равна в этом случае приращению электрической энергии.

Таким образом, мы имеем здесь увеличение энергии при одновременном совершении системой работы. Следовательно, в систему должна подводиться энергия от какого-либо внешнего источника, например от вольтовой батареи, обеспечивающей постоянство потенциалов при перемещении.

Совершаемая батареей работа равна, следовательно, сумме совершаемой системой работы и приращения энергии, а поскольку они равны, то работа, совершаемая батареей, равна удвоенной работе, совершаемой системой проводников при перемещении.

О сравнении подобных заряженных систем

94. Если две заряженные системы геометрически подобны, так что соответствующие длины в этих системах относятся как 𝐿 к 𝐿', и если диэлектрик, разделяющий проводники в обеих системах, один и тот же, то коэффициенты индукции и ёмкости этих систем относятся как 𝐿 к 𝐿'. Действительно, если рассмотреть соответствующие части 𝐴 и 𝐴' этих систем и предположить, что количество электричества на 𝐴 равно 𝑒, а на 𝐴' равно 𝑒', то создаваемые этими зарядами потенциалы 𝑉 и 𝑉' в соответствующих точках 𝐵 и 𝐵' будут равны 𝑉=(𝑒/𝐴𝐵), 𝑉'=(𝑒'/𝐴'𝐵'). Но 𝐴𝐵 относится к 𝐴'𝐵' как 𝐿 к 𝐿', так что 𝑒:𝑒 = 𝐿𝑉:𝐿'𝑉'.

В случае же, когда индуктивные способности диэлектриков в этих системах различны и равны 𝐾 для первой и 𝐾' для второй, если потенциалы в соответствующих точках первой и второй систем относятся как 𝑉 к 𝑉', а заряды в соответствующих частях систем - как 𝑒 к 𝑒', то 𝑒:𝑒' = 𝐿𝑉𝐾:𝐿'𝑉'𝐾'. По этой пропорции мы можем находить отношение полных зарядов соответствующих частей двух систем, которые, во-первых, геометрически подобны, во-вторых, содержат среды, удельные индуктивные способности которых относятся друг к другу в соответствующих точках как 𝐾 и 𝐾', и, в-третьих, заряжены так, что их потенциалы в соответствующих точках относятся как 𝑉 к 𝑉'.

Отсюда следует, что если 𝑞 - какой-либо коэффициент ёмкости или индукции первой системы, a 𝑞' - соответствующий коэффициент второй системы, то 𝑞:𝑞' = 𝐿𝐾:𝐿'𝐾', а если 𝑝 и 𝑝' - соответствующие коэффициенты потенциала в обеих системах, то 𝑝:𝑝' = (1/𝐿𝐾):(1/𝐿'𝐾').

Если одно из тел смещено в первой системе, а соответствующее ему тело смещено подобным образом во второй системе, то эти смещения относятся как 𝐿 к 𝐿'; если действующие на тела силы обозначить через 𝐹 к 𝐹', то работы, совершенные в обеих системах, относятся как 𝐹𝐿 к 𝐹'𝐿'.

Но полная электрическая энергия равна полусумме произведений зарядов на потенциалы заряженных тел, так что, обозначая через 𝑊 и 𝑊' полную электрическую энергию двух подобных систем, получим 𝑊:𝑊'=𝑒𝑉:𝑒'𝑉', и разности энергий, получающихся при подобных перемещениях в обеих системах, будут находиться в том же отношении. Поскольку 𝐹𝐿 пропорционально работе электрической силы на перемещении, то 𝐹𝐿:𝐹'𝐿' = 𝑒𝑉:𝑒'𝑉'.

Комбинируя эти пропорции, мы найдём, что отношение силы, действующей на какое-либо тело в одной системе к силе, действующей на соответствующее тело во второй системе, равно

𝐹:𝐹'

=

𝑉²𝐾:𝑉'²𝐾'

,

или

𝐹:𝐹'

=

𝑒²

𝐿²𝐾

:

𝑒'²

𝐿'²𝐾'

.

Первая пропорция показывает, что в подобных системах сила пропорциональна квадрату электродвижущей силы и индуктивной способности среды и не зависит от фактических размеров системы.

Следовательно, два проводника, помещённые в жидкость с индуктивной способностью больше, чем у воздуха, и заряженные до определённого потенциала, будут притягиваться сильнее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же потенциалах.

Вторая пропорция показывает, что если количество электричества на каждом теле задано, то силы пропорциональны квадратам зарядов и обратно пропорциональны квадратам расстояний, а также обратно пропорциональны индуктивным способностям сред. Следовательно, два проводника с заданными зарядами, помещённые в жидкость с индуктивной способностью большей, чем у воздуха, будут притягиваться слабее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же зарядах.

ГЛАВА IV

ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ

95 а. Во второй главе мы рассчитали потенциальную функцию и исследовали некоторые её свойства, исходя из предположения, что существует непосредственное действие на расстоянии между заряженными телами, являющееся равнодействующей непосредственного воздействия различных заряженных элементов этих тел друг на друга.

Если этот метод исследования назвать прямым, то обратный ему метод будет заключаться в принятии предположения, что потенциал - это функция, обладающая теми свойствами, которые мы вывели выше, и в исследовании вида этой функции.