Трактат об электричестве и магнетизме

Поскольку ∇Ψ и ∇Φ однозначны, то средняя часть равенств (4) однозначна. Однако из-за многозначности Ψ оба слагаемых левой части равенств (4) многозначны. Но если выбрать какое-либо одно значение Ψ₀ из многих значений Ψ в точке 𝐴 внутри области ς, то тем самым определяется значение функции Ψ в любой другой точке 𝑃. Действительно, поскольку выбранное значение Ψ является непрерывным внутри объёма, то значение Ψ в точке 𝑃 должно совпадать с тем решением, которое получается непрерывным изменением вдоль любого пути от 𝐴 к 𝑃, начиная со значения Ψ₀ в точке 𝐴. Если бы значение Ψ в точке 𝑃 получалось различным для различных путей из 𝐴 в 𝑃, то эти два пути должны были бы охватывать замкнутую кривую, на которой первые производные от Ψ бесконечны. Но это противоречит нашим условиям. Поскольку первые производные по условию не обращаются в бесконечность внутри области ς, эта замкнутая кривая должна быть целиком вне этой области, а поскольку область односвязна, два пути внутри области не могут охватывать чего-либо вне области.

Таким образом, при заданном значении Ψ₀ функции в точке 𝐴 её значение в точке 𝑃 определяется однозначно.

Если в точке 𝐴 выбрано какое-либо другое значение Ψ, скажем Ψ_0+𝑛ϰ, то значение функции в точке 𝑃 будет Ψ_+𝑛ϰ. Однако значение левой части равенства (4) останется тем же, что и раньше, потому что это изменение приводит к добавлению в левой части (4) члена

𝑛ϰ

⎡

⎢

⎣

∬

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

-

∭

∇²Φ

𝑑ς

⎤

⎥

⎦

,

который, согласно Теореме III из п. 21, равен нулю.

96 в. Если область ς двухсвязная или многосвязная, то её можно свести к односвязной области, замкнув каждый её контур диафрагмой (что позволит применить рассматриваемую теорему к области, ограниченной поверхностью области ς, а также положительной и отрицательной сторонами диафрагмы).

Пусть 𝑠₁ - одна из этих диафрагм, а ϰ₁, - соответствующая циклическая постоянная, т. е. приращение при однократном обходе по контуру в положительном направлении. Поскольку область ς расположена по обе стороны от диафрагмы 𝑠₁, то каждый элемент 𝑠₁ войдёт дважды в поверхностный интеграл.

Пусть нормаль ν₁ проведена в положительную сторону 𝑑𝑠₁ a ν'₁ - в отрицательную. Тогда (𝑑Φ/𝑑ν'₁) = -(𝑑Φ/𝑑ν₁) и Ψ'₁=Ψ₁+ϰ₁, и так что элемент поверхностного интеграла, обусловленный 𝑑𝑠₁, будет равен

Ψ

₁

𝑑Φ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

-

Ψ'

₁

𝑑Φ

𝑑ν'₁

𝑑𝑠

₁

=

-ϰ

𝑑Φ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

,

поскольку 𝑑ν₁ - элемент внутренней нормали к положительной поверхности.

Таким образом, если область s многосвязная, то первая часть уравнения (4) запишется в виде

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

-

ϰ

₁

∬

𝑑Φ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

-…-

ϰ

_𝑛

∬

𝑑Φ

𝑑ν_𝑛

𝑑𝑠

_𝑛

-

-

∭

Ψ∇²Φ

𝑑ς

,

(4a)

где 𝑑ν - элемент внутренней нормали к граничной поверхности, первый поверхностный интеграл берётся по граничной поверхности, а остальные - по различным диафрагмам, каждый элемент поверхности которых входит в интеграл один раз с нормалью, направленной в соответствии с положительным направлением контура.

Необходимость такой модификации теоремы для многосвязных областей была впервые показана Гельмгольцем ², а первое её применение к рассматриваемой теореме принадлежит Томсону ³.

² «Über Integrate der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen», Crelle, 1858. Англ, перевод проф. Тэта; Phil. Mag., 1867 (I).

³ «On Vortex Motion», Trans. R. S. Edin., XXV, part. I, p. 241 (1867).

96 г. Предположим теперь вместе с Грином, что одна из функций, скажем Φ, не удовлетворяет тому условию, что сама функция и её первые производные не обращаются в бесконечность внутри заданной области. Пусть она обращается в бесконечность в точке 𝑃 этой области, и только в ней, причём вблизи точки 𝑃 функция Φ равна Φ₀+𝑒/𝑟, где Φ₀ - конечная и непрерывная величина, а 𝑟 - расстояние от 𝑃. Такой случай имеет место, если Φ - потенциал количества электричества 𝑒, сосредоточенного в точке 𝑃, и любого распределения электричества с объёмной плотностью, нигде не обращающейся в бесконечность в рассматриваемой области.

Предположим теперь, что вокруг точки 𝑃 как центра описана сфера очень малого радиуса 𝑎. Поскольку в области вне сферы, но внутри поверхности 𝑠, функция Φ никаких особенностей не имеет, то мы можем применить к ней Теорему Грина, не забыв учесть при поверхностном интегрировании и поверхность малой сферы.

При вычислении объёмных интегралов следует из интеграла, взятого по всей области, вычесть интеграл по объёму малой сферы.

Но интеграл

∭

Φ∇²Ψ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

по объёму сферы не может по абсолютной величине превосходить

(∇²Ψ)

_𝑔

∭

Φ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

т.е.

(∇²Ψ)

_𝑔

⎛

⎜

⎝

2π𝑒𝑎²

+

4

3

π𝑎³

Φ

₀

⎞

⎟

⎠

,

где индекс 𝑔 какой-либо величины означает наибольшее численное значение этой величины внутри рассматриваемой сферы.

Таким образом, этот объёмный интеграл порядка 𝑎² и может быть опущен при стремлении 𝑎 к нулю.

Второй объёмный интеграл

∭

Ψ∇²Φ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

мы будем считать взятым по объёму между малой сферой и поверхностью 𝑠 так что область интегрирования не включает точки, где Φ обращается в бесконечность.

Поверхностный интеграл

∬

Φ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠'

для сферы не может численно превосходить

Φ

_𝑔

∬

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠'

Но по Теореме III, п. 21,

∬

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

=-

∭

∇²Ψ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,