Трактат об электричестве и магнетизме

Но подынтегральное выражение в интеграле 𝑊₂ представляет собой сумму трёх квадратов и не может быть отрицательно, так что сам интеграл может быть либо положительным, либо нулём. Итак, если 𝑊₂ не равно нулю, то оно положительно, и, следовательно, 𝑊 больше 𝑊₁. Если 𝑊₂ равно нулю, то каждое слагаемое под интегралом должно быть равно нулю, т. е. (𝑑Ψ₂/𝑑𝑥)=0, (𝑑Ψ₂/𝑑𝑦)=0, (𝑑Ψ₂/𝑑𝑧)=0 во всех точках внутри поверхности, а Ψ₂ постоянно внутри поверхности. Но на поверхности Ψ₂=0, значит, оно равно нулю и в любой точке внутри поверхности, т. е. Ψ=Ψ₁, так что, если 𝑊 не больше 𝑊₁, то Ψ должно совпадать с Ψ₁ во всех точках внутри поверхности.

Отсюда следует, что Ψ₁ - единственная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, равная Ψ на поверхности и удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри поверхности.

Если бы этим условиям удовлетворяла какая-нибудь другая функция Ψ₃, то 𝑊₃ должно было бы быть меньше любого другого значения 𝑊. Но мы уже показали, что 𝑊₁ меньше любого другого значения, а следовательно, и меньше 𝑊₃. Следовательно, никакая функция, отличная от Ψ₁, не может удовлетворять этим условиям.

Ниже мы увидим, что наиболее часто встречается случай, когда поле ограничено одной внешней поверхностью 𝑠 и некоторым числом внутренних поверхностей 𝑠₁, 𝑠₂ и т. д., причём принимает нулевое значение на 𝑠 и постоянные на каждой поверхности значения: Ψ₁ на 𝑠₁, Ψ₂ на 𝑠₂ и т. д., как для системы проводников с заданными потенциалами.

Из всех функций Ψ, удовлетворяющих этим условиям, 𝑊_ψ минимально для той функции, которая для каждой точки в поле удовлетворяет условию ∇²Ψ=0.

Теорема Томсона

Лемма

100 а. Пусть Ψ - произвольная функция 𝑥, 𝑦, 𝑧, конечная и непрерывная внутри замкнутой поверхности 𝑠 и принимающая на некоторых замкнутых поверхностях 𝑠₁, 𝑠₂, …, 𝑠_𝑝, … значения Ψ₁, Ψ₂, …, Ψ_𝑝, …, постоянные на каждой поверхности.

Пусть 𝑢, 𝑣, 𝑤 - функции 𝑥, 𝑦, 𝑧, которые мы можем рассматривать как составляющие вектора ℭ, удовлетворяющего условию соленоидальности

-𝑆.∇ℭ

=

𝑑𝑢

𝑑𝑥

+

𝑑𝑣

𝑑𝑦

+

𝑑𝑤

𝑑𝑧

=

0.

(28)

Положим в Теореме III

𝑋

=

Ψ𝑢

,

𝑌

=

Ψ𝑣

,

𝑍

=

Ψ𝑤

.

(29)

В результате этих подстановок получим

∑

_𝑝

∬

Ψ

_𝑝

(

𝑙

_𝑝

𝑢

+

𝑚

_𝑝

𝑣

+

𝑛

_𝑝

𝑤

)

𝑑𝑠

_𝑝

+

+

∭

Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑢

𝑑𝑥

+

𝑑𝑣

𝑑𝑦

+

𝑑𝑤

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

+

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

0;

(30)

где поверхностные интегралы берутся по различным поверхностям, объёмные интегралы - по всему полю, а 𝑙_𝑝, 𝑚_𝑝, 𝑛_𝑝 - направляющие косинусы нормали к поверхности 𝑠_𝑝 в сторону поля. Первый объёмный интеграл равен нулю вследствие соленоидальности 𝑢, 𝑣, 𝑤, а поверхностные интегралы равны нулю в следующих случаях:

1) если для любой точки поверхности Ψ=0,

2) если для любой точки поверхности 𝑙𝑢 + 𝑚𝑣 + 𝑛𝑤 =0,

3) если поверхность состоит вся из частей, на которых выполняется либо (1), либо (2),

4) если Ψ постоянно на каждой замкнутой поверхности и ∬(𝑙𝑢+𝑚𝑣+𝑛𝑤)𝑑𝑠=0.

В этих четырёх случаях объёмный интеграл

𝑀

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

0.

(31)

100 б. Рассмотрим теперь поле, ограниченное замкнутой поверхностью 𝑠 и внутренними замкнутыми поверхностями 𝑠₁, 𝑠₂, ….

Пусть Ψ - функция 𝑥, 𝑦, 𝑧 конечная и непрерывная в точках поля, удовлетворяющая Уравнению Лапласа

∇²Ψ

=

0.

(32)

имеющая постоянные, но не заданные значения Ψ₁, Ψ₂, … соответственно на поверхностях 𝑠₁, 𝑠₂, … и нулевое значение на внешней поверхности 𝑠.

Заряд любой из заряженных поверхностей, скажем 𝑠₁, даётся поверхностным интегралом

𝑒

₁

=-

1

4π

∬

𝑑Ψ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

,

(33)

где нормаль ν₁ направлена от поверхности 𝑠₁ в сторону электрического поля.

100 в. Пусть теперь ƒ, 𝑔, 𝘩 - функции 𝑥, 𝑦, 𝑧, которые можно рассматривать как составляющие некоторого вектора 𝔇, удовлетворяющие только тому условию, что в каждой точке поля должно выполняться условие соленоидальности

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

=

0,

(34)

и что на каждой из внутренних замкнутых поверхностей, скажем 𝑠₁ интеграл типа

∬

(

𝑙

₁

ƒ

+

𝑚

₁

𝑔

+

𝑛

₁

𝘩

)

𝑑𝑠

=

𝑒

₁

,

(35)

где 𝑙₁, 𝑚₁, 𝑛₁, - направляющие косинусы нормали ν₁ к поверхности 𝑠₁, в сторону электрического поля, а 𝑒₁ - та же величина, что и в (33), т. е. фактически электрический заряд проводника, ограниченного поверхностью 𝑠₁.

Рассмотрим объёмный интеграл

𝑊

_𝔇

=

2π

∭

(

ƒ²

+

𝑔²

+

𝘩²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(36)

по всему полю внутри 𝑠 и вне 𝑠₁, 𝑠₂, … и сравним его с интегралом

𝑊

_Ψ

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(37)

по тому же объёму.

Положим

𝑢

=

ƒ

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

𝑣

=

𝑔

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

𝑤

=

𝘩

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

(38)

и введём

𝑊

_ℭ

=

2π

∭

(

𝑢²

+

𝑣²

+

𝑤²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(39)

Тогда, поскольку

ƒ²

+

𝑔²

+

𝘩²

=

1

16π²

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

+

𝑢²

+

𝑣²

+

𝑤²

-

1

2π

⎡

⎢

⎣

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

,

(40)

то

𝑊

_𝔇

=

𝑊

_Ψ

+

𝑊

_ℭ

-

-

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

Но, во-первых, 𝑢, 𝑣, 𝑤, удовлетворяют условию соленоидальности в любой точке поля, поскольку, согласно (38),

𝑑𝑢

𝑑𝑥

+

𝑑𝑣

𝑑𝑦

+

𝑑𝑤

𝑑𝑧

=

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

-

1

4π

∇²Ψ

,

(41)

a no (34) и (32) оба слагаемых правой части (41) равны нулю.

Во-вторых, имеет место равенство

∬

(

𝑙

₁

𝑢

+

𝑚

₁

𝑣

+

𝑛

₁

𝑤

)

𝑑𝑠

₁

=

=

∬

(

𝑙

₁

ƒ

+

𝑚

₁

𝑔

+

𝑛

₁

𝘩

)

𝑑𝑠

₁

+

1

4π

∬

𝑑Ψ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

.

(42)

Но согласно (35) первое слагаемое справа равно 𝑒₁, а согласно (33) второе слагаемое справа равно -𝑒₁, так что

∬

(

𝑙

₁

𝑢

+

𝑚

₁

𝑣

+

𝑛

₁

𝑤

)

𝑑𝑠

₁

=

0.

(43)