Трактат об электричестве и магнетизме

Таким образом, так как Ψ₁ постоянно, выполняется четвёртое условие п. 100 а, так что последнее слагаемое в правой части (40) равно нулю и уравнение сводится к

𝑊

_𝔇

=

𝑊

_Ψ

+

𝑊

_ℭ

.

(44)

Далее, подынтегральное выражение в 𝑊_ℭ является суммой трёх квадратов 𝑢²+𝑣²+𝑤² и, следовательно, либо положительно, либо равно нулю. Если хоть в одной точке в поле 𝑢, 𝑣, и 𝑤 не равны одновременно нулю, то интеграл 𝑊_ℭ положителен, так что 𝑊_𝔇 больше 𝑊_Ψ. Но и значения 𝑢=𝑣=𝑤=0 во всех точках этим условиям удовлетворяют.

Таким образом, если в каждой точке

ƒ

=

-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

𝑔

=

-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

𝘩

=

-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

,

(45)

то

𝑊

_𝔇

=

𝑊

_Ψ

(46)

и величина для этих значений ƒ, 𝑔, 𝘩 меньше, чем для любых других значений ƒ, 𝑔, 𝘩.

Итак, задача определения смещения и потенциала в каждой точке поля при заданных зарядах на каждом проводнике имеет одно и только одно решение.

Эта теорема в одном из более общих вариантов была впервые установлена сэром У. Томсоном ⁵. Ниже мы укажем возможные обобщения теоремы.

⁵Cambridge and Dublin Mathematical Journal, February, 1848.

100 г. Можно видоизменить эту теорему, предположив, что вектор 𝔇 не соленоидальный в каждой точке, а удовлетворяет условию

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

=

ρ,

(47)

где ρ - конечная функция, значение которой задано в каждой точке поля; она может быть положительной и отрицательной, непрерывной и разрывной, но интеграл от неё по конечному объёму должен быть конечен.

Можно также предположить, что на некоторых поверхностях, расположенных в поле, имеет место соотношение

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

+

𝑙'ƒ'

+

𝑚'𝑔'

+

𝑛'𝘩'

=

σ,

(48)

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 и 𝑙', 𝑚', 𝑛' - направляющие косинусы нормалей из точки поверхности в области, где составляющие смещения равны соответственно ƒ, 𝑔, 𝘩 и ƒ', 𝑔', 𝘩' а σ - величина, заданная во всех точках поверхности, интеграл от которой по конечной поверхности конечен.

100 д. Можно также изменить условие на граничных поверхностях, приняв, что в каждой точке этих поверхностей

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

=

σ,

(49)

где σ задано во всех точках.

(В первоначальной формулировке теоремы мы считали заданным лишь интеграл от σ по каждой из поверхностей. Здесь мы считаем заданным значение σ на каждом элементе. Это всё равно, что рассматривать в первоначальной формулировке теоремы каждый элемент как отдельную поверхность.)

Во всех этих модификациях теорема остаётся справедливой, если только помнить, что Ψ должно удовлетворять соответствующим условиям, т.е. общему условию

𝑑²Ψ

𝑑𝑥

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑦

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑧

+

4πρ

=

0

(50)

и условию на поверхности

𝑑Ψ

𝑑ν

+

𝑑Ψ'

𝑑ν'

+

4πσ

=

0

(51)

Действительно, положив, как ранее,

ƒ

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

=

𝑢,

𝑔

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

=

𝑣,

𝘩

+

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

=

𝑤,

получим, что 𝑢, 𝑣, 𝑤 удовлетворяют общему условию соленоидальности

𝑑𝑢

𝑑𝑥

+

𝑑𝑣

𝑑𝑦

+

𝑑𝑤

𝑑𝑧

=

0,

условию на поверхности

𝑙𝑢

+

𝑚𝑣

+

𝑛𝑤

+

𝑙'𝑢'

+

𝑚'𝑣'

+

𝑛'𝑤'

=

0

и условию на граничной поверхности

𝑙𝑢

+

𝑚𝑣

+

𝑛𝑤

=

0

откуда опять следует, что

𝑀

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑢

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑣

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑤

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

0.

и

𝑊

_𝔇

=

𝑊

_Ψ

+

𝑊

_ℭ

.

Как и прежде, показывается, что 𝑊_𝔇 имеет единственный минимум при 𝑊_ℭ, что означает равенство нулю 𝑢² + 𝑣² + 𝑤² во всех точках, так что

ƒ

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

𝑔

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

𝘩

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

101 а. В нашем доказательстве этих теорем мы до сих пор ограничивались той теорией электричества, которая считает свойства электрических систем зависящими от формы и относительного расположения проводников и их зарядов, но никак не учитывает природы диэлектрической среды, находящейся между проводниками.

Согласно этой теории, существует, например, неизменное соотношение между поверхностной плотностью на проводнике и электродвижущей напряжённостью вне проводника у самой поверхности, даваемое законом Кулона: 𝑅=4πσ.

Но это верно только для эталонной среды, за которую можно принять воздух. В других средах соотношение будет иным, как показал экспериментально, хотя и не опубликовал, Кавендиш, а затем независимо вновь открыл Фарадей.

Для полного описания этого явления мы нашли необходимым рассмотреть две векторные величины, соотношение между которыми в разных средах различно. Одна - это электродвижущая напряжённость, другая - электрическое смещение. Электродвижущая напряжённость связана соотношением неизменного вида с потенциалом, электрическое смещение связано соотношением неизменного вида с распределением заряда, но соотношение между электродвижущей напряжённостью и электрическим смещением зависит от природы диэлектрической среды и должно выражаться уравнениями, наиболее общая форма которых до сих пор ещё полностью не установлена и может быть установлена лишь в результате опытов с диэлектриками.

101 б. Электродвижущая напряжённость - вектор, определённый в п. 68 как отношение механической силы, действующей на малый заряд, к величине этого заряда 𝑒. Её составляющие мы обозначим через 𝑃, 𝑄, 𝑅, а сам вектор - через 𝔈.

В электростатике криволинейный интеграл от 𝔈 всегда не зависит от пути интегрирования, т. е., иными словами, 𝔈 является пространственной вариацией потенциала. Таким образом, 𝑃=-𝑑Ψ/𝑑𝑥, 𝑄=-𝑑Ψ/𝑑𝑦, 𝑅=-𝑑Ψ/𝑑𝑧, или, короче, пользуясь Кватернионными обозначениями, 𝔈=-∇Ψ.