Трактат об электричестве и магнетизме

Если обозначить через σ_𝑝𝑎' поверхностную плотность в точке 𝐴' на поверхности 𝑠, то, поскольку 𝐺_𝑝𝑞 является потенциалом, создаваемым в точке 𝑄 поверхностным распределением,

𝐺

_𝑝𝑞

=

∬

(σ

_𝑝𝑎'

/𝑟

_𝑞𝑎'

)

𝑑𝑠'

,

(2)

где 𝑑𝑠' -элемент поверхности 𝑠 у точки 𝐴', и интегрирование производится по всей поверхности 𝑠.

Если бы единичный заряд был расположен в точке 𝑄, то, согласно (1), мы имели бы

(1/𝑟

_𝑝𝑎'

)

=-

𝐺

_𝑝𝑎'

(3)

=-

∬

(σ

_𝑞𝑎

/𝑟

_𝑎𝑎'

)

𝑑𝑠

,

(4)

где σ_𝑞𝑎 -плотность в точке 𝐴 наводимая единичным зарядом в 𝑄, 𝑑𝑠 - элемент поверхности, а 𝑟_𝑎𝑎' -расстояние между точками 𝐴 и 𝐴'. Подставляя это значение 1/𝑟_𝑎𝑎' в выражение для 𝐺_𝑝𝑞, получим

𝐺

_𝑝𝑞

=-

∬∬

σ_𝑞𝑎σ_𝑞𝑎'

𝑟_𝑎𝑎'

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

.

(5)

Поскольку это выражение не меняется от перестановки индексов 𝑞 и 𝑝, мы заключаем, что

𝐺

_𝑝𝑞

=

𝐺

_𝑞𝑝

.

(6)

К этому результату мы пришли ещё в п. 86, но теперь мы видим, что он выводится математически методом, позволяющим рассчитать функцию Грина.

Предположим, что у нас имеется произвольное распределение электричества, и поместим в поле точечный единичный заряд. Пусть поверхность нулевого потенциала полностью отделяет эту точку от имеющегося распределения заряда. Тогда, приняв эту поверхность за поверхность 𝑠, а точку - за точку 𝑃, получим, что функция Грина для любой точки с той же стороны поверхности, что и 𝑃, будет совпадать с потенциалом распределения электричества, существующего по другую сторону поверхности. Таким способом можно построить сколько угодно примеров, позволяющих найти функцию Грина для частных случаев расположения точки 𝑃. Значительно труднее найти вид функции при заданной поверхности s и при произвольном положении точки 𝑃, хотя, как мы показали, математически это возможно.

Предположим, что эта задача решена, и что точка 𝑃 находится внутри поверхности. Тогда во всех точках вне поверхности потенциал поверхностного распределения равен и противоположен по знаку потенциалу точки 𝑃. Таким образом, поверхностное распределение центробарично ⁴ и его действие во всех внешних точках эквивалентно действию единичного положительного заряда в точке 𝑃.

⁴ Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 526.

99 а. Если положить в Теореме Грина Ψ=Φ, то мы получим

∬

Ψ

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

-

∭

Ψ∇²Ψ

𝑑ς

=

∭

(∇Ψ)²

𝑑ς

.

(16)

Если Ψ - потенциал распределения заряда в пространстве с объёмной плотностью ρ и на проводниках с поверхностями 𝑠₁ 𝑠₂ и т. д., имеющих потенциалы Ψ₁, Ψ₂ и т. д., с поверхностной плотностью σ₁, σ₂ и т. д., то

∇²Ψ

=

4πρ

,

(17)

𝑑Ψ

𝑑ν

=

-4πσ

(18)

(𝑑ν направлено наружу от проводника) и

∬

𝑑Ψ

𝑑ν₁

𝑑𝑠

₁

=

-4π𝑒

₁

,

(19)

где 𝑒₁ - заряд поверхности 𝑠₁.

Поделив (16) на -8π получим

½(

Ψ

₁

𝑒

₁

+

Ψ

₂

𝑒

₂

+

…)

+½

∭

Ψρ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(20)

Первый член слева представляет собой электрическую энергию системы, обусловленную поверхностными распределениями, а второй - энергию, обусловленную объёмным распределением электричества в поле, если таковое распределение имеется.

Таким образом, правая часть уравнения выражает полную электрическую энергию системы при заданном потенциале как функции координат.

Поскольку мы часто будем пользоваться этим объёмным интегралом, мы введём для него специальное обозначение 𝑊_ψ так что

𝑊

_ψ

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(21)

Если заряд распределён лишь на поверхностях проводников, то ρ=0 и второй член слева в (20) отсутствует.

Первый член слева выражает, как и в п. 84, энергию заряженной системы через заряды и потенциалы проводников, мы обозначаем это выражение через 𝑊.

99 б. Пусть Ψ - функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, удовлетворяющая тому условию, что на замкнутой поверхности 𝑠 она принимает во всех точках известные значения Ψ. Значения Ψ в точках вне поверхности s совершенно произвольны.

Напишем интеграл

𝑊

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

(22)

где интегрирование производится по объёму внутри поверхности 𝑠. Докажем, что если Ψ₁ - такая из функций Ψ, удовлетворяющих условию на поверхности, которая удовлетворяет также уравнению Лапласа

∇²Ψ

₁

=

0

(23)

во всех точках внутри поверхности, то значение 𝑊₁ интеграла 𝑊, вычисленное для 𝑊₁, меньше, чем для любой другой функции, отличающейся от 𝑊₁ хотя бы в одной точке внутри поверхности.

Действительно, пусть Ψ - любая функция, совпадающая с Ψ₁ на поверхности, но не совпадающая всюду внутри поверхности, и положим

Ψ

=

Ψ

₁

+

Ψ

₂

.

(24)

Тогда Ψ₂ обращается в нуль во всех точках поверхности.

Значение 𝑊 для Ψ равно, очевидно,

𝑊

=

𝑊

₁

+

𝑊

₂

+

+

1

4π

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ₁

𝑑𝑥

𝑑Ψ₂

𝑑𝑥

+

𝑑Ψ₁

𝑑𝑦

𝑑Ψ₂

𝑑𝑦

+

𝑑Ψ₁

𝑑𝑧

𝑑Ψ₂

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

(25)

По Теореме Грина последнее выражение можно написать в виде

1

4π

∭

Ψ

₂

∇²Ψ

₁

𝑑ς

-

1

4π

∬

Ψ

₂

𝑑Ψ₁

𝑑ν

𝑑𝑠

.

(26)

Объёмный интеграл обращается в нуль, так как ∇²Ψ₁=0 внутри поверхности, а поверхностный интеграл равен нулю, потому что на поверхности Ψ₂=0. Таким образом, уравнение (25) принимает вид

𝑊

=

𝑊

₁

+

𝑊

₂

.

(27)