Трактат об электричестве и магнетизме

так как здесь 𝑑ν отсчитывается наружу от сферы. Этот интеграл не может численно превосходить (∇²Ψ)_𝑔⋅4/3⋅π𝑎³, а Φ_𝑔 на поверхности примерно равно 𝑒/𝑎 так что

∬

Φ

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

не может численно превосходить

4

3

π𝑎²𝑒

(∇²Ψ)

_𝑔

,

т.е. он порядка 𝑎² и в пределе при 𝑎, стремящемся к нулю, может быть опущен.

Однако поверхностный интеграл по сфере, стоящий в правой части равенства (4):

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠'

,

не обращается в нуль, так как

∬

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠'

=

-4π𝑒

,

𝑑ν отсчитывается наружу от сферы).

Обозначая через Ψ₀ значение Ψ в точке 𝑃, получим

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

=

-4π𝑒

Ψ

₀

.

Таким образом, уравнение (4) принимает вид

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

-

∭

Ψ∇²Φ

𝑑ς

-4π𝑒

Ψ

₀

=

=

∬

Φ

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

-

∭

Φ∇²Ψ

𝑑ς

.

(4b)

97 а. Следуя Грину, применим этот вариант Теоремы Грина для определения поверхностной плотности распределения, создающего потенциал, значения которого заданы внутри и вне заданной замкнутой поверхности. Эти значения должны совпадать на поверхности; внутри поверхности ∇²Ψ=0, а вне неё ∇²Ψ'=0, где Ψ и Ψ' означают потенциалы внутри и вне поверхности.

Грин начинает с прямой задачи, когда задано распределение поверхностной плотности σ а потенциалы во внутренней точке 𝑃 и во внешней точке 𝑃' находятся интегрированием:

Ψ

_𝑃

=

∬

σ

𝑟

𝑑𝑠

,

Ψ'

_𝑃'

=

∬

σ

𝑟'

𝑑𝑠

,

(9)

где 𝑟 и 𝑟' соответственно расстояния от точек 𝑃 и 𝑃'.

Полагая Φ=1/𝑟 и применив Теорему Грина к объёму внутри поверхности с учётом того, что ∇²Φ=0 и ∇²Ψ=0 в области интегрирования, получим

∬

Ψ

𝑑𝑟^-1

𝑑ν'

𝑑𝑠

-

4πΨ

_𝑃

=

∬

1

𝑟

𝑑Ψ

𝑑ν'

𝑑𝑠

,

(10)

где Ψ_𝑃 - значение Ψ в точке 𝑃.

Применим ещё раз эту теорему к объёму, ограниченному поверхностью 𝑠 и охватывающей её поверхностью на бесконечно большом расстоянии 𝑎. Вклад в поверхностный интеграл от бесконечно удалённой поверхности будет порядка 1/𝑎 и может быть опущен, откуда

∬

Ψ'

𝑑𝑟^-1

𝑑ν'

𝑑𝑠

=

∬

1

𝑟

𝑑Ψ'

𝑑ν

𝑑𝑠

.

(11)

Но на поверхности Ψ=Ψ, а поскольку нормали ν и ν' направлены в противоположные стороны, то

𝑑𝑟^-1

𝑑ν

𝑑𝑠

+

𝑑𝑟^-1

𝑑ν'

𝑑𝑠

=

0.

Таким образом, при сложении уравнений (10) и (11) члены в левой части сократятся, и мы получим

-4πΨ

_𝑃

=

∬

1

𝑟

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑ν'

+

𝑑Ψ'

𝑑ν

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

.

(12)

97 б. Грин показал также, что при произвольно заданном потенциале Ψ в каждой точке замкнутой поверхности 𝑠 можно найти потенциал в любой точке внутри и вне поверхности, если ∇²Ψ=0 вне и внутри поверхности.

Для этого он выбрал функцию Φ такой, что вблизи точки 𝑃 она близка к 1/𝑟, а на поверхности 𝑠 равна нулю, причём в каждой точке внутри поверхности ∇²Φ=0.

Существование такой функции Грин доказывает из физических соображений: если представить себе, что 𝑠 - проводящая заземлённая поверхность, а в точке 𝑃 находится единичный заряд, то соответствующий потенциал удовлетворял бы приведённым условиям. Действительно, если поверхность 𝑠 заземлена, то потенциал в каждой её точке должен равняться нулю, а поскольку потенциал создан зарядом в точке 𝑃 и наведёнными зарядами на 𝑠, то ∇²Φ=0 во всех точках внутри поверхности.

Применяя к этому случаю Теорему Грина, получим

4πΨ

_𝑃

=

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν'

𝑑𝑠

,

(13)

где Ψ под интегралом означает заданное значение потенциала на элементе поверхности 𝑑𝑠. Если σ_𝑃 - плотность электричества, наведённого единичным зарядом в точке 𝑃, то

4πσ

_𝑃

+

𝑑Φ

𝑑ν'

=

0

(14)

и уравнение (13) можно переписать в виде

Ψ

_𝑃

=

-

∬

𝑃σ

𝑑𝑠

,

^*

(15)

^* По изданию Dover Publication 0-486-60636-8 1954 г. Ψ_𝑃=-∬Ψσ𝑑𝑠

где σ - поверхностная плотность электричества, индуцированная на 𝑑𝑠 единичным зарядом в точке 𝑃.

Таким образом, если значение σ известно в каждой точке поверхности для данного положения точки 𝑃, то мы можем рассчитать простым интегрированием потенциал в точке 𝑃 при заданном потенциале в каждой точке поверхности и при условии ∇²Ψ=0 внутри поверхности.

Ниже мы покажем, что если мы нашли решение Ψ, удовлетворяющее этим условиям, то оно единственно.

Функция Грина

98. Пусть замкнутая поверхность s находится под нулевым потенциалом. Пусть 𝑃 и 𝑄 - две точки с положительной стороны от поверхности 𝑠 (мы можем принять за положительную как внутреннюю, так и внешнюю сторону) и пусть в точке 𝑃 находится небольшое тело, несущее единичный заряд. Тогда потенциал в точке 𝑄 состоит из двух частей; одна часть вызывается непосредственным действием заряда в точке 𝑃, другая - обусловлена действием заряда, индуцированного на поверхности 𝑠 зарядом в 𝑃. Эта вторая часть потенциала называется Функцией Грина и обозначается через 𝐺_𝑝𝑞.

Функция Грина зависит от положения двух точек 𝑃 и 𝑄; вид функции зависит от формы поверхности 𝑠. Она была рассчитана для сферической поверхности и ещё для нескольких других случаев. Функция Грина даёт потенциал в точке 𝑄, создаваемый электричеством, наводимым на поверхности 𝑠 единичным зарядом в точке 𝑃.

Фактический потенциал в точке 𝑄, создаваемый зарядом в точке 𝑃 и наводимыми им зарядами на 𝑠, равен 1/𝑟_𝑝𝑞+𝐺_𝑝𝑞, где 𝑟_𝑝𝑞 - расстояние от 𝑃 до 𝑄.

На поверхности 𝑠 и во всех точках по отрицательную сторону от 𝑠 потенциал равен нулю, так что

𝐺

_𝑝𝑎

=

-(1/𝑟

_𝑝𝑎

)

,

(1)

где индекс 𝑎 показывает, что вместо точки 𝑄 взята точка 𝐴 на поверхности 𝑠.