Трактат об электричестве и магнетизме

Доказательство всех этих теорем проводится однотипно. Во избежание повторений мы каждый раз при проведении поверхностного интегрирования в прямоугольной системе координат будем использовать теорему III из п. 21 ¹ где дан подробный вывод соотношения между объёмным интегралом и соответствующим поверхностным интегралом. Нам нужно будет лишь подставить вместо 𝑋, 𝑌, и 𝑍 в формулировке теоремы составляющие конкретного рассматриваемого вектора.

¹ Эта теорема была, по-видимому, впервые дана Остроградским в его работе, доложенной в 1828 г., но опубликованной лишь в 1831 г. в Mem. de L'Acad. de St. Pétersbourg. T. I, p. 39. Её можно рассматривать, однако, как одну из форм уравнения непрерывности.

В первом издании этой книги утверждения каждой теоремы осложнялись множеством взаимно исключающих условий, имевших целью показать степень общности теоремы и многообразие случаев её применения, однако это лишь приводило к смешению в умах читателей того, что предполагается, и того, что требуется доказать.

В настоящем издании каждая теорема сначала устанавливается в более определённой, подчас в более ограниченной, форме, а затем показывается возможность её дальнейших обобщений.

До сих пор мы обозначали потенциал буквой 𝑉. Мы будем продолжать пользоваться этим обозначением и дальше в пределах электростатики. Однако в этой главе, а также в тех разделах второго тома, где электрический потенциал встречается в электромагнитных расчётах, мы будем использовать специальное обозначение Ψ для электрического потенциала.

Теорема Грина

96 а. Следующая важная теорема дана Джорджем Грином в его «Опыте применения математики к электричеству и магнетизму».

Теорема эта относится к пространству, ограниченному замкнутой поверхностью s. Мы будем называть это конечное пространство Полем. Пусть ν - нормаль, проведённая от поверхности в сторону поля, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы этой нормали. Тогда выражение

𝑙

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑚

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝑛

𝑑Ψ

𝑑𝑧

=

𝑑Ψ

𝑑ν

(1)

даёт скорость изменения функции Ψ при движении вдоль нормали ν. В дальнейшем будет считаться, что значение 𝑑Ψ/𝑑ν берётся на самой поверхности, где ν=0. Будем, как и в п. 26 и 77 пользоваться обозначением

𝑑²Ψ

𝑑𝑥²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑦²

+

𝑑²Ψ

𝑑𝑧²

=

-∇²Ψ

,

(2)

а для двух функций Ψ и Φ будем писать

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

=

-𝑆.

∇Ψ

∇Φ

.

(3)

Читатель, незнакомый с методом Кватернионов, может, если угодно, считать выражения ∇²Ψ и 𝑆.∇Ψ∇Φ просто удобными сокращёнными обозначениями соответствующих величин, к которым они приравнены выше, а поскольку мы будем в дальнейшем использовать лишь обычные декартовы координаты, то Кватернионное истолкование этих выражений нам не понадобится. Мы, однако, пользуемся именно этими обозначениями, а не произвольными другими сокращениями, поскольку на языке Квартернионов они полностью представляют соответствующую величину. Оператор ∇ в применении к скалярной функции Ψ даёт пространственную вариацию этой функции, а выражение -𝑆.∇Ψ∇Φ даёт скалярную часть произведения двух пространственных вариаций, т. е. произведение одной из пространственных вариаций на составляющую другой вариации в направлении первой. Выражение 𝑑Ψ/𝑑ν записывается в терминах Кватернионов как 𝑆.𝑈ν∇Φ где 𝑈ν - единичный вектор в направлении нормали. На данном этапе не видно особой выгоды в применении этого обозначения, однако оно окажется удобным при рассмотрении анизотропных сред.

Доказательство теоремы Грина

Пусть Ψ и Φ - две функции от 𝑥, 𝑦, 𝑧, конечные и непрерывные вместе со своими первыми производными в односвязной области ς, ограниченной замкнутой поверхностью 𝑠. Тогда

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

-

∭

Ψ∇²Φ

𝑑ς

=

∭

𝑆.∇Ψ∇Φ

𝑑ς

=

=

∬

Φ

𝑑Ψ

𝑑ν

𝑑𝑠

-

∭

Φ∇²Ψ

𝑑ς

,

(4)

где двойное интегрирование производится по всей замкнутой поверхности 𝑠 а тройное - по полю ς, ограниченному этой поверхностью.

Для доказательства положим в Теореме III, п. 21,

𝑋

=

Ψ

𝑑Φ

𝑑𝑥

,

𝑌

=

Ψ

𝑑Φ

𝑑𝑦

,

𝑍

=

Ψ

𝑑Φ

𝑑𝑧

.

(5)

Тогда

𝑅 cos ε

=

-Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑙

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝑚

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝑛

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

=-

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

,

(6)

согласно (l), и

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

=

Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑²Φ

𝑑𝑥²

+

𝑑²Φ

𝑑𝑦²

+

𝑑²Φ

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

=

=

-Ψ∇²Φ

-𝑆.

∇Ψ

∇Φ

,

(7)

согласно (2) и (3). По Теореме III

∬

𝑅 cos ε

𝑑𝑠

=

∭

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑ς

,

так что (6) и (7) дают

∬

Ψ

𝑑Φ

𝑑ν

𝑑𝑠

-

∭

Ψ∇²Φ

𝑑ς

=

∭

𝑆.

∇Ψ

∇Φ

𝑑ς

.

(8)

Поскольку в правой части равенства Ψ и Φ можно поменять местами, это можно сделать и в левой части равенства. Таким образом, мы получили полное доказательство Теоремы Грина, даваемой равенством (4).

96 б. Теперь мы покажем, что Теорема Грина справедлива и в случае, когда одна из функций, скажем Ψ, многозначна, если её первые производные однозначны и не обращаются в бесконечность в односвязной области ς.