Трактат об электричестве и магнетизме

101 в. Составляющая электрического смещения в каком-либо направлении определена в п. 60 как отношение количества электричества, прошедшего через небольшую площадку 𝐴 плоскость которой перпендикулярна рассматриваемому направлению, к величине площадки 𝐴. Мы обозначим прямоугольные составляющие электрического смещения буквами ƒ, 𝑔, 𝘩, а сам вектор - буквой 𝔇.

Объёмная плотность в каждой точке определяется уравнением

ρ

=

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

,

или в Кватернионных обозначениях ρ=-𝑆.∇𝔇.

Поверхностная плотность в любой точке заряженной поверхности определяется соотношением

σ

=

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

+

𝑙'ƒ'

+

𝑚'𝑔'

+

𝑛'𝘩'

,

где ƒ, 𝑔, 𝘩, - составляющие смещения на одной стороне поверхности, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к поверхности в эту сторону; соответственно ƒ', 𝑔', 𝘩' и 𝑙', 𝑚', 𝑛' - составляющие смещения и направляющие косинусы нормали для другой стороны.

В Кватернионных обозначениях это уравнение примет вид

σ

=

-[

𝑆.𝑈ν𝔇

+

𝑆.𝑈ν'𝔇'

],

где 𝑈ν, 𝑈ν', -единичные нормали с обеих сторон поверхности, a 𝑆 указывает на то, что берётся скалярная часть произведения.

Для поверхности проводника, обозначая через v внешнюю нормаль и учитывая, что ƒ', 𝑔', 𝘩' и 𝔇' равны нулю, это уравнение сводится к виду

σ

=

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

=

-𝑆.𝑈ν𝔇

.

Таким образом, полный заряд проводника равен

σ

=

∬

(

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

)

𝑑𝑠

=

-

∬

𝑆.𝑈ν𝔇

𝑑𝑠

.

101 г. Как показано в п. 84, электрическая энергия системы равна полусумме произведений зарядов на соответствующие потенциалы. Обозначая её через 𝑉 получим

𝑊

=

1

2

∑

(𝑒Ψ)

=

1

2

∭

ρΨ

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

1

2

∬

σΨ

𝑑𝑠

=

=

1

2

∭

Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

+

+

1

2

∬

Ψ

(

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

)

𝑑𝑠

,

где объёмный интеграл берётся по всему электрическому полю, а поверхностный - по поверхностям проводников.

Полагая в Теореме III, п. 21, 𝑋=Ψƒ, 𝑌=Ψ𝑔, 𝑍=Ψ𝘩, получим

∬

Ψ

(

𝑙ƒ

+

𝑚𝑔

+

𝑛𝘩

)

𝑑𝑠

=-

∭

Ψ

⎛

⎜

⎝

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

-

-

∭

⎛

⎜

⎝

ƒ

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑔

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝘩

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к поверхности в сторону поля.

Подставляя это значение поверхностного интеграла в 𝑊 получим

𝑊

=-

1

2

∭

⎛

⎜

⎝

ƒ

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝑔

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝘩

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

или

𝑊

=

1

2

∭

(

ƒ𝑃

+

𝑔𝑄

+

𝘩𝑅

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

101 д. Теперь перейдём к соотношению между 𝔇 и 𝔈. Единица заряда обычно определяется из опытов в воздухе. Из опытов Больцмана мы знаем теперь, что диэлектрическая постоянная для воздуха несколько больше, чем для вакуума, и что она зависит от плотности воздуха. Поэтому, строго говоря, подобно тому как значения коэффициентов преломления в воздухе нуждаются в поправке, так и все измерения электрических величин следует скорректировать, сведя их либо к воздуху при нормальной температуре и нормальном давлении, либо, что с научной точки зрения более предпочтительно, к вакууму. Но в обоих случаях поправки столь малы, что обнаруживаются лишь при чрезвычайно точных измерениях.

В эталонной среде 4π𝔇=𝔈, т.е. 4πƒ=𝑃, 4π𝑔=𝑄, 4π𝘩=𝑅.

В изотропной среде с диэлектрической постоянной 𝐾

4π𝔇

=

𝐾𝔈

,

4πƒ

=

𝐾𝑃

,

4π𝑔

=

𝐾𝑄

,

4π𝘩

=

𝐾𝑄

.

Однако есть некоторые среды, из которых наиболее исследовано стекло, в которых соотношение между 𝔇 и 𝔈 более сложное и содержит производные по времени от одной или от обеих этих величин, так что оно имеет вид

𝐹(

𝔇

,

𝔈

,

𝔇̇

,

𝔈̇

,

𝔇̈

,

𝔈̈

,…)

=

0.

Мы сейчас не будем рассматривать соотношений такого более общего вида и ограничимся случаем, когда 𝔇 является линейной векторной функцией от 𝔈.

Самый общий вид такого соотношения может быть записан в виде 4π𝔇=φ(𝔈), где через φ мы будем всюду в нашем исследовании обозначать линейную векторную функцию. Таким образом, составляющие являются линейными однородными функциями от составляющих 𝔇 и могут быть записаны в виде

4π

ƒ

=

𝐾

_𝑥𝑥

𝑃

+

𝐾

_𝑥𝑦

𝑄

+

𝐾

_𝑥𝑧

𝑅

,

4π

𝑔

=

𝐾

_𝑦𝑥

𝑃

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑄

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑅

,

4π

𝘩

=

𝐾

_𝑧𝑥

𝑃

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑄

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑅

,

где первый индекс в каждом коэффициенте 𝐾 указывает направление составляющей смещения, а второй - направление составляющей электродвижущей напряжённости.

В самом общем виде в линейную векторную функцию входят девять независимых коэффициентов. Если коэффициенты с одинаковой парой индексов равны между собой, то такая функция называется самосопряжённой.

Если выразить 𝔈 через 𝔇, то получится соотношение типа 𝔈=4πφ^-1(𝔇), т. е.

𝑃

=

4π(

𝑘

_𝑥𝑥

ƒ

+

𝑘

_𝑦𝑥

𝑔

+

𝑘

_𝑧𝑥

𝘩

),

𝑄

=

4π(

𝑘

_𝑥𝑦

ƒ

+

𝑘

_𝑦𝑦

𝑔

+

𝑘

_𝑧𝑦

𝘩

),

𝑅

=

4π(

𝑘

_𝑥𝑧

ƒ

+

𝑘

_𝑦𝑧

𝑔

+

𝑘

_𝑧𝑧

𝘩

).

101 e. Работа, совершаемая в единице объёма среды электродвижущей напряжённостью с составляющими 𝑃, 𝑄, 𝑅 при создании смещения с составляющими 𝑑ƒ, 𝑑𝑔, 𝑑𝘩 равна

𝑑𝑊

=

𝑃𝑑ƒ

+

𝑄𝑑𝑔

+

𝑅𝑑𝘩

.

Поскольку диэлектрик, в котором имеет место электрическое смещение, является консервативной системой, то 𝑊 должно быть функцией ƒ, 𝑔, 𝘩, а поскольку ƒ, 𝑔, 𝘩 могут меняться независимо, то

𝑃

𝑑𝑊

𝑑ƒ

,

𝑄

𝑑𝑊

𝑑𝑔

,

𝑅

𝑑𝑊

𝑑𝘩

.

Отсюда следует, что

𝑑𝑃

𝑑𝑔

=

𝑑²𝑊

𝑑𝑔𝑑ƒ

=

𝑑²𝑊

𝑑ƒ𝑑𝑔

=

𝑑𝑄

𝑑ƒ

.

Ho 𝑑𝑃/𝑑𝑔=4π𝑘_𝑦𝑥 - коэффициент передав выражении для 𝑃, a 𝑑𝑄/𝑑ƒ=4π𝑘_𝑦𝑥 - коэффициент перед ƒ в выражении для 𝑄.

Таким образом, если диэлектрическая среда является консервативной системой (а мы знаем, что это так, потому что её энергия может сохраняться неограниченно долго), то 𝑘_𝑥𝑦=𝑘_𝑦𝑥 т.е. φ_-1 - самосопряжённая функция.

Отсюда следует, что и φ - самосопряжённая функция, т. е. 𝐾_𝑥𝑦=𝐾_𝑦𝑥.

101 ж. Следовательно, выражение для энергии можно представить в любой из следующих форм:

𝑊

_𝔈

1

8π

=

∭

[

𝐾

_𝑥𝑥

𝑃²

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑄²

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑅²

+

2𝐾

_𝑦𝑧

𝑄𝑅

+

+

2𝐾

_𝑧𝑥

𝑅𝑃

+

2𝐾

_𝑥𝑦

𝑃𝑄

]

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

.

или

𝑊

_𝔇

=

2π

∭

[

𝑘

_𝑥𝑥