Трактат об электричестве и магнетизме

ƒ²

+

𝑘

_𝑦𝑦

𝑔²

+

𝑘

_𝑧𝑧

𝘩²

+

2𝑘

_𝑦𝑧

𝑔𝘩

+

+

2𝑘

_𝑧𝑥

𝘩ƒ

+

2𝑘

_𝑥𝑦

ƒ𝘩

]

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где индекс указывает на вектор, через который выражается 𝑊. Если индекс не указан, то подразумевается, что энергия выражена через оба вектора.

Таким образом, мы имеем всего шесть различных выражений для энергии электрического поля. Три из них содержат заряды и потенциалы поверхностей проводников и приведены в п. 87. Три других выражения являются объёмными интегралами по всему электрическому полю и содержат составляющие электродвижущей напряжённости, или электрического смещения, или и те и другие.

Поэтому первые три интеграла относятся к теории взаимодействия на расстоянии, а три последних - к теории воздействия через посредство промежуточной среды. Их можно представить в виде

𝑊

=-

1

2

∭

𝑆.𝔇𝔈

𝑑ς

,

𝑊

_𝔈

=-

2π

∭

𝑆.𝔈φ(𝔈)

𝑑ς

,

𝑊

_𝔇

=-

1

8π

∭

𝑆.𝔇φ

^-1

(𝔇)

𝑑ς

.

101 з. Чтобы обобщить Теорему Грина на случай неоднородной анизотропной среды, достаточно лишь положить в Теореме III, п. 21,

𝑋

=

Ψ

⎡

⎢

⎣

𝐾

_𝑥𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑥𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑥𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

,

𝑌

=

Ψ

⎡

⎢

⎣

𝐾

_𝑦𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

,

𝑍

=

Ψ

⎡

⎢

⎣

𝐾

_𝑧𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

,

и мы получим

∬

Ψ

⎡

⎢

⎣

(

𝐾

_𝑥𝑥

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑥

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑥

𝑛

)

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

(

𝐾

_𝑥𝑦

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑛

)

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

+

(

𝐾

_𝑥𝑧

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑛

)

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑠

-

-

∭

Ψ

⎡

⎢

⎣

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑥𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑥𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑥𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑦𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑧𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

=

∭

⎡

⎢

⎣

𝐾

_𝑥𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑧

+

+

𝐾

_𝑦𝑧

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑧

+

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

+

𝐾

_𝑧𝑥

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

𝑑Φ

𝑑𝑥

+

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝐾

_𝑥𝑦

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

𝑑Φ

𝑑𝑦

+

𝑑Ψ

𝑑𝑦

𝑑Φ

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

=

=

∬

Φ

⎡

⎢

⎣

(

𝐾

_𝑥𝑥

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑥

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑥

𝑛

)

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

(

𝐾

_𝑥𝑦

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑛

)

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

(

𝐾

_𝑥𝑧

𝑙

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑚

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑛

)

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑠

-

-

∬

Φ

⎡

⎢

⎣

𝑑

𝑑𝑥

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑥𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑥𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑥𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑

𝑑𝑦

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑦𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑦𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑦𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+

+

𝑑

𝑑𝑧

⎛

⎜

⎝

𝐾

_𝑧𝑥

𝑑Ψ

𝑑𝑥

+

𝐾

_𝑧𝑦

𝑑Ψ

𝑑𝑦

+

𝐾

_𝑧𝑧

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

,

где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности (следует помнить, что порядок индексов в коэффициентах безразличен).

В кватернионных обозначениях эти соотношения записываются короче:

∬

Ψ𝑆.𝑈νφ(∇Φ)

𝑑𝑠

-

∭

Ψ𝑆.{∇φ(∇Φ)}

𝑑ς

=

=

∭

𝑆.∇Ψφ(∇Φ)

𝑑ς

=-

∭

𝑆.∇Φφ(∇Ψ)

𝑑ς

=

=

∬

Φ𝑆.𝑈νφ(∇Ψ)

𝑑𝑠

=-

∭

Φ𝑆.{∇φ(∇Ψ)}

𝑑ς

.

Границы возможных значений электрической ёмкости проводника

102 а. Мы уже определили ёмкость проводника или системы проводников как заряд этого проводника или системы проводников при сообщении им единичного потенциала и при нулевом потенциале всех остальных проводников, находящихся в поле.

Излагаемый ниже метод определения предельных значений, между которыми должно находиться значение ёмкости проводника, был предложен Дж. У. Стреттом в его работе «О теории резонанса», Phil. Trans., 1871, Art. 306.

Пусть 𝑠₁ - поверхность проводника или системы проводников, ёмкость которых следует определить, a 𝑠₀ - поверхность всех остальных проводников. Пусть потенциал 𝑠₁ равен Ψ₁ потенциал 𝑠₀ равен Ψ₀. Если заряд на 𝑠₁ равен 𝑒₁ то заряд на 𝑠₀ равен -𝑒₁.

Ёмкость 𝑝 проводника 𝑠₁ равна

𝑞

=

𝑒

₁

/(Ψ

₁

-Ψ

₀

)

.

(1)

Если 𝑊 - энергия системы при фактическом распределении заряда, то

𝑊

=

𝑒

₁

(Ψ

₁

-Ψ

₀

)/2

,

(2)

так что

𝑞

=

2𝑊

(Ψ₁-Ψ₀)²

=

𝑒₁²

2𝑊

.

(3)

Чтобы найти верхнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую функцию Ψ равную 1 на 𝑠₁ и нулю на 𝑠₀, и вычислим значение объёмного интеграла

𝑊

_Ψ

=

1

8π

∭

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑥

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑦

⎞²

⎟

⎠

+

⎛

⎜

⎝

𝑑Ψ

𝑑𝑧

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(4)

по всему полю.

Поскольку мы показали (в п. 996), что 𝑊 не может превышать 𝑊_Ψ, ёмкость 𝑞 не может быть больше 2𝑊_Ψ.

Чтобы найти нижнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую систему значений ƒ, 𝑔, 𝘩, удовлетворяющую уравнению

𝑑ƒ

𝑑𝑥

+

𝑑𝑔

𝑑𝑦

+

𝑑𝘩

𝑑𝑧

=

0,

(5)

и пусть

∬

(

𝑙

₁

ƒ

+

𝑚

₁

𝑔

+

𝑛

₁

𝘩

)

𝑑

₁

𝑠

=

𝑒

₁

.

(6)

Вычислим теперь значение объёмного интеграла

𝑊

_𝔇

=

2π

∭

(

ƒ²

+

𝑔²

+

𝘩²

)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑧

(7)

по всему полю.

Поскольку мы показали в п. 100 в, что 𝑊 не может превышать 𝑊_𝔇, то ёмкость 𝑞 не может быть меньше

𝑒

₁

²

/

(2𝑊

_𝔇

)

.

(8)

Проще всего найти совокупность функций ƒ, 𝑔, 𝘩 удовлетворяющую условик соленоидальности, приняв какое-то распределение заряда на 𝑠₁ и на 𝑠₀ так, чтобы суммарный заряд равнялся нулю, и рассчитав потенциал Ψ, соответствующий: этому распределению, и электрическую энергию такой системы.

Если теперь положить

ƒ

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑥

,

𝑔

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑦

,

𝘩

=-

1

4π

𝑑Ψ

𝑑𝑧

,

то эти значения ƒ, 𝑔, 𝘩 будут удовлетворять условию соленоидальности.

Однако в этом случае можно найти 𝑊_𝔇 и не производя объёмного интегрирования. Поскольку для этого решения ∇²Ψ=0 во всех точках поля, то 𝑊_𝔇 можно выразить в виде поверхностного интеграла

𝑊

_𝔇

=

1

2

∬

Ψσ

₁

𝑑𝑠

₁

+

1

2

∬

Ψσ

₀

𝑑𝑠

₀

,

где первый интеграл берётся по поверхности 𝑠₁, а второй - по 𝑠₀.

Если поверхность 𝑠₀ находится на бесконечно большом расстоянии от 𝑠₁ то потенциал на ней равен нулю и второй член исчезает.

102 б. Приближённое решение любой задачи о распределении заряда на проводниках с заданными потенциалами может быть получено следующим образом.

Пусть 𝑠₁ - поверхность проводника или системы проводников, находящихся под потенциалом 1, а 𝑠₀ - поверхность всех остальных проводников, в том числе и полого проводника, охватывающего все остальные. Впрочем, этот последний проводник может в некоторых случаях находиться на бесконечно большом расстоянии от остальных.

Начнём с построения совокупности линий, прямых или кривых, идущих от 𝑠₁ к 𝑠₀.